I) Antes de começar o exercício liste as quatro séries de Maclaurin das funções mais vistas em sala de aula, dando seus respectivos raios de convergências.
Passo 1
E aí! Vamos resolver essa questão sobre as séries de Maclaurin. Primeiro, o que é uma série de Maclaurin? É uma série de potências que expande uma função em torno de 0. Para listar as quatro séries de Maclaurin mais comuns que geralmente vemos em aula, precisamos conhecer as funções básicas e suas expansões, além de determinar o raio de convergência de cada uma, ou seja, o intervalo onde a série converge para a função.
Passo 2
Vamos começar com a série de Maclaurin para a função exponencial,
.
A série de Maclaurin de
é:
O raio de convergência dessa série é infinito, o que significa que ela converge para todo valor real de
.
Passo 3
Agora, a série de Maclaurin para o seno de
,
.
A série de Maclaurin de
é:
O raio de convergência também é infinito, então essa série converge para todo
real.
Passo 4
Vamos para a série de Maclaurin do cosseno de
,
.
A série de Maclaurin de
é:
Assim como as anteriores, o raio de convergência é infinito, garantindo convergência para qualquer valor real de
.
Passo 5
Por último, a série de Maclaurin para
.
A série de Maclaurin de
é:
O raio de convergência dessa série é 1, ou seja, a série converge quando
.
Resposta
As quatro séries de Maclaurin mais comuns são:
- Exponencial:
- Seno:
- Cosseno:
- Função Racional
:
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b) Justifique em que intervalo vale a igualdade
.
Determine o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
e)
e)
Nos exercícios
, calcule
.
a parte do plano
situada no primeiro octante
Nos exercícios
, calcule
.
a parte do plano
contida no cilindro
.