Então, temos que justificar em qual intervalo a igualdade é válida. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e derivação termo a termo, garantindo que tudo esteja dentro dos limites de convergência apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . Suponhamos que ela seja definida por uma série de potências, ou seja:
Queremos encontrar derivando essa série termo a termo.
Passo 3
Para derivar termo a termo, é crucial que a série original convirja e que a série derivada também convirja no mesmo intervalo. Isso garante que podemos trocar a ordem de derivação e soma sem problemas. Vamos determinar onde isso acontece usando o teste da razão.
Passo 4
Aplicando o teste da razão na série original:
Para que a série convirja, esse limite deve ser menor que 1:
|x| < 1
Passo 5
Então, a série original converge quando . Nesse intervalo, podemos derivar a série termo a termo sem problemas, e a série derivada também irá convergir. Portanto, a igualdade dada é válida para .
Resposta
A igualdade é válida para todos os valores de que satisfazem .