b) Justifique em que intervalo vale a igualdade f^prime(x)=sumn=2^infty (n-1) x^n-2n^3.

Passo 1

Então, temos que justificar em qual intervalo a igualdade é válida. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e derivação termo a termo, garantindo que tudo esteja dentro dos limites de convergência apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x) = sumn=1^infty x^n-1n^3 . Suponhamos que ela seja definida por uma série de potências, ou seja:
Queremos encontrar derivando essa série termo a termo.

Passo 3

Para derivar termo a termo, é crucial que a série original convirja e que a série derivada também convirja no mesmo intervalo. Isso garante que podemos trocar a ordem de derivação e soma sem problemas. Vamos determinar onde isso acontece usando o teste da razão.

Passo 4

Aplicando o teste da razão na série original:
limn to infty | x^n(n+1)^3x^n-1n^3 | = limn to infty |x| ( nn+1 )^3 = |x|
Para que a série convirja, esse limite deve ser menor que 1:
|x| < 1

Passo 5

Então, a série original converge quando . Nesse intervalo, podemos derivar a série termo a termo sem problemas, e a série derivada também irá convergir. Portanto, a igualdade dada é válida para .

Resposta

A igualdade é válida para todos os valores de que satisfazem .

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