Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
sumn=1^infty x^n2+n^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências . A matéria que vamos usar aqui envolve séries de potências e teste de convergência, especificamente o Teste da Razão. Vamos precisar entender como aplicar esse teste para descobrir onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teste da Razão. Ele diz que, dada uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
  • Se , a série converge.
  • Se ou diverge, a série não converge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar esse teste na nossa série. Aqui, o termo geral é:
an = x^n2 + n^2
Então, o próximo termo an+1 = x^n+12 + (n+1)^2 será:

Passo 4

Agora, calculamos a razão an+1an = x^n+12 + (n+1)^2x^n2 + n^2 = x^n+1x^n cdot 2 + n^22 + (n+1)^2 = x cdot 2 + n^22 + n^2 + 2n + 1 = x cdot 2 + n^23 + n^2 + 2n :

Passo 5

Simplificando o limite para L = limn to infty | x cdot 2 + n^23 + n^2 + 2n | = |x| cdot limn to infty n^2n^2 + 2n + 3 = |x| cdot 1 = |x| :

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão:
L = |x| < 1 implies A série conver>= é
L = |x| > 1 implies A série diver>= é
L = |x| = 1 implies Teste inconclusivo
Então, a série converge para .

Passo 7

Para completar, precisamos verificar o que acontece nos pontos sumn=1^infty 1^n2 + n^2 = sumn=1^infty 12 + n^2 .
  • Quando sumn=1^infty (-1)^n2 + n^2 :
Essa série converge, pois é uma série p com .
  • Quando :
Essa é uma série alternada. Além disso, os termos diminuem e tendem a zero, então, pela Teste de Leibniz, a série também converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .

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