Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências . A matéria que vamos usar aqui envolve séries de potências e teste de convergência, especificamente o Teste da Razão. Vamos precisar entender como aplicar esse teste para descobrir onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teste da Razão. Ele diz que, dada uma série , calculamos o limite:
  • Se , a série converge.
  • Se ou diverge, a série não converge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar esse teste na nossa série. Aqui, o termo geral é:
Então, o próximo termo será:

Passo 4

Agora, calculamos a razão :

Passo 5

Simplificando o limite para :

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão:
é
é
Então, a série converge para .

Passo 7

Para completar, precisamos verificar o que acontece nos pontos .
  • Quando :
Essa série converge, pois é uma série p com .
  • Quando :
Essa é uma série alternada. Além disso, os termos diminuem e tendem a zero, então, pela Teste de Leibniz, a série também converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .

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