Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência. ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências . A matéria que vamos usar aqui envolve séries de potências e teste de convergência, especificamente o Teste da Razão. Vamos precisar entender como aplicar esse teste para descobrir onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teste da Razão. Ele diz que, dada uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge.
Se ou diverge, a série não converge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar esse teste na nossa série. Aqui, o termo geral é:
Então, o próximo termo será:
Passo 4
Agora, calculamos a razão :
Passo 5
Simplificando o limite para :
Passo 6
De acordo com o Teste da Razão:
é
é
Então, a série converge para .
Passo 7
Para completar, precisamos verificar o que acontece nos pontos .
Quando :
Essa série converge, pois é uma série p com .
Quando :
Essa é uma série alternada. Além disso, os termos diminuem e tendem a zero, então, pela Teste de Leibniz, a série também converge.
Resposta
O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .