Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
a_n = n * 2^(-n);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a sequência é convergente ou divergente. Ou seja, queremos saber se essa sequência tende a um número específico quando cresce sem parar. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a sequência: . Aqui, é um número inteiro que cresce (1, 2, 3, …) e significa . Então, cada termo da sequência é o produto de por uma potência de que decresce rapidamente à medida que aumenta.

Passo 3

Agora, para determinar se a sequência converge ou diverge, precisamos calcular o limite quando tende ao infinito: . Se esse limite for um número finito, a sequência converge; se não, diverge.

Passo 4

Vamos calcular esse limite. Podemos reescrever como , então temos:
Aqui, estamos lidando com o crescimento de (linear) e o crescimento de (exponencial). Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido do que funções lineares.

Passo 5

Para formalizar isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que nos ajuda a calcular limites do tipo . Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a :
A derivada de em relação a é 1, e a derivada de em relação a é .

Passo 6

Agora, observamos que cresce exponencialmente, enquanto o numerador é apenas 1. Portanto:

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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