Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a sequência
é convergente ou divergente. Ou seja, queremos saber se essa sequência tende a um número específico quando
cresce sem parar. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a sequência:
. Aqui,
é um número inteiro que cresce (1, 2, 3, …) e
significa
. Então, cada termo da sequência é o produto de
por uma potência de
que decresce rapidamente à medida que
aumenta.
Passo 3
Agora, para determinar se a sequência converge ou diverge, precisamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
. Se esse limite for um número finito, a sequência converge; se não, diverge.
Passo 4
Vamos calcular esse limite. Podemos reescrever
como
, então temos:
Aqui, estamos lidando com o crescimento de
(linear) e o crescimento de
(exponencial). Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido do que funções lineares.
Passo 5
Para formalizar isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que nos ajuda a calcular limites do tipo
. Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
:
A derivada de
em relação a
é 1, e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 6
Agora, observamos que
cresce exponencialmente, enquanto o numerador é apenas 1. Portanto:
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é 0.