Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
  • ;
  • ;
  • ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se cada uma das três sequências dadas é convergente ou divergente. Estamos trabalhando com o conteúdo de limites de sequências, que faz parte do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o limite de uma sequência quando tende ao infinito e aplicar algumas propriedades básicas de limites.

Passo 2

Vamos começar com a primeira sequência: .
Primeiro, precisamos calcular o limite dessa sequência quando vai para o infinito. Sabemos que aproxima-se de quando é muito pequeno (próximo de zero). Então, quando tende ao infinito, tende a zero.
Podemos usar a propriedade do limite:
Então, o limite dessa sequência é , que é um número finito.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda sequência: .
Para encontrar o limite quando tende ao infinito, podemos dividir o numerador e o denominador por :
Então, o limite dessa sequência é , que também é um número finito.

Passo 4

Por último, vamos analisar a terceira sequência: .
Aqui, temos uma sequência que alterna sinais devido a , mas o denominador cresce sem limite à medida que aumenta. Vamos calcular o limite:
Independentemente do sinal, à medida que se torna muito grande, se aproxima de zero.

Resposta

Todas as três sequências são convergentes. O primeiro termo converge para , o segundo para e o terceiro para .

Exercícios relacionados

Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
;
Verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
;
Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
;
Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não-monótonas.
;