Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se cada uma das três sequências dadas é convergente ou divergente. Estamos trabalhando com o conteúdo de limites de sequências, que faz parte do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o limite de uma sequência quando
tende ao infinito e aplicar algumas propriedades básicas de limites.
Passo 2
Vamos começar com a primeira sequência: .
Primeiro, precisamos calcular o limite dessa sequência quando
vai para o infinito. Sabemos que aproxima-se de
quando
é muito pequeno (próximo de zero). Então, quando
tende ao infinito,
tende a zero.
Podemos usar a propriedade do limite:
Então, o limite dessa sequência é
, que é um número finito.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda sequência:
.
Para encontrar o limite quando
tende ao infinito, podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Então, o limite dessa sequência é
, que também é um número finito.
Passo 4
Por último, vamos analisar a terceira sequência:
.
Aqui, temos uma sequência que alterna sinais devido a
, mas o denominador cresce sem limite à medida que
aumenta. Vamos calcular o limite:
Independentemente do sinal, à medida que
se torna muito grande,
se aproxima de zero.
Resposta
Todas as três sequências são convergentes. O primeiro termo converge para
, o segundo para
e o terceiro para
.
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