Verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1

Vamos analisar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries numéricas, especificamente a análise de convergência de séries. Precisaremos dividir a série em duas partes para facilitar a verificação.

Passo 2

Primeiro, separamos a série original em duas séries individuais:
Isso nos permite analisar cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos analisar a primeira série: . Podemos fatorar o e obter:
Sabemos que é a série harmônica, que é conhecida por ser divergente. Portanto, a primeira parte da nossa série original também é divergente.

Passo 4

Agora, analisamos a segunda série: . Essa é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se e sua soma é . Aqui, e , então a série converge e sua soma é:

Passo 5

Reunindo as duas análises, temos que a primeira série é divergente e a segunda é convergente. Quando somamos uma série divergente com uma convergente, o resultado é divergente.

Resposta

A série é divergente.

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