Verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Vamos analisar se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries numéricas, especificamente a análise de convergência de séries. Precisaremos dividir a série em duas partes para facilitar a verificação.
Passo 2
Primeiro, separamos a série original em duas séries individuais:
Isso nos permite analisar cada parte separadamente.
Passo 3
Vamos analisar a primeira série:
. Podemos fatorar o
e obter:
Sabemos que
é a série harmônica, que é conhecida por ser divergente. Portanto, a primeira parte da nossa série original também é divergente.
Passo 4
Agora, analisamos a segunda série:
. Essa é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica
converge se
e sua soma é
. Aqui,
e
, então a série converge e sua soma é:
Passo 5
Reunindo as duas análises, temos que a primeira série é divergente e a segunda é convergente. Quando somamos uma série divergente com uma convergente, o resultado é divergente.
Resposta
A série
é divergente.
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