Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
sumn=1^infty n^nn! x^n;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências . A matéria que vamos usar aqui é sobre séries de potências e o teste do raio de convergência. Para isso, vamos precisar aplicar o teste da razão para achar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o teste da razão na nossa série. Seja L = limn to infty | an+1an | . Calculamos o limite:

Passo 4

Substituindo L = limn to infty | (n+1)^n+1(n+1)! x^n+1 cdot n!n^n x^-n | = limn to infty | (n+1)^n+1n^n(n+1) x | e L = limn to infty | (1 + 1n)^n cdot (n+1) cdot x | na expressão:
Simplificando:

Passo 5

Sabemos que L = limn to infty e cdot (n+1) cdot |x| , onde . Então, nosso limite fica:

Passo 6

Agora, analisamos o comportamento desse limite:
  • Se , tende a infinito, já que cresce sem limite.
  • Apenas se , .

Passo 7

Pelo teste da razão, a série converge somente quando . Mas vimos que isso só acontece se .

Resposta

O intervalo de convergência da série é apenas , e o raio de convergência é 0.

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