Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência. ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências . A matéria que vamos usar aqui é sobre séries de potências e o teste do raio de convergência. Para isso, vamos precisar aplicar o teste da razão para achar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar o teste da razão na nossa série. Seja . Calculamos o limite:
Passo 4
Substituindo e na expressão:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que , onde . Então, nosso limite fica:
Passo 6
Agora, analisamos o comportamento desse limite:
Se , tende a infinito, já que cresce sem limite.
Apenas se , .
Passo 7
Pelo teste da razão, a série converge somente quando . Mas vimos que isso só acontece se .
Resposta
O intervalo de convergência da série é apenas , e o raio de convergência é 0.