Determine os valores de para os quais as séries de potências a seguir são convergentes. ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para descobrir quais valores de pertencem aos números reais () que fazem a série de potências
convergir. Isso envolve entender sobre séries de potências e como determinar seu intervalo de convergência usando testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a aplicação dos testes. Podemos reescrever a série como:
Aqui, percebemos que temos uma série de potências na forma , onde .
Passo 3
Para determinar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste é útil para séries que envolvem fatoriais ou potências, como é o caso aqui.
O Teste da Razão diz que, para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge absolutamente; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos :
Agora, calculamos :
Em seguida, formamos a razão :
Simplificando:
Passo 5
Calculemos agora o limite quando tende ao infinito:
Isso porque .
Passo 6
Aplicando o Teste da Razão, essa série converge se:
Resolvendo essa desigualdade para :
Isso significa que deve satisfazer:
Adicionando 2 em todos os lados:
Passo 7
Portanto, a série converge para todos os valores de no intervalo aberto de a . Nos pontos e , precisaríamos testar separadamente, mas o enunciado pede apenas para determinar os valores onde a série converge, e o intervalo principal já nos dá essa informação.
Resposta
A série converge para todos os valores de tais que .