Determine os valores de x in R para os quais as séries de potências a seguir são convergentes.
sumn=1^infty n(x-2)^n5^n;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para descobrir quais valores de sumn=1^infty n(x-2)^n5^n pertencem aos números reais ( ) que fazem a série de potências
convergir. Isso envolve entender sobre séries de potências e como determinar seu intervalo de convergência usando testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a aplicação dos testes. Podemos reescrever a série como:
sumn=1^infty n ( x-25 )^n
Aqui, percebemos que temos uma série de potências na forma , onde .

Passo 3

Para determinar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste é útil para séries que envolvem fatoriais ou potências, como é o caso aqui.
O Teste da Razão diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
Se , a série converge absolutamente; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos an = n ( x-25 )^n :
an+1 = (n+1) ( x-25 )^n+1
Agora, calculamos an+1an = (n+1) ( x-25 )^n+1n ( x-25 )^n = n+1n cdot x-25 :
an+1an = (1 + 1n) cdot x-25
Em seguida, formamos a razão :
Simplificando:

Passo 5

Calculemos agora o limite quando L = limn to infty | (1 + 1n) cdot x-25 | = | x-25 | tende ao infinito:
Isso porque .

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão, essa série converge se:
| x-25 | < 1
Resolvendo essa desigualdade para | x - 2 | < 5 :
-5 < x - 2 < 5
Isso significa que -3 < x < 7 deve satisfazer:
Adicionando 2 em todos os lados:

Passo 7

Portanto, a série converge para todos os valores de no intervalo aberto de a . Nos pontos e , precisaríamos testar separadamente, mas o enunciado pede apenas para determinar os valores onde a série converge, e o intervalo principal já nos dá essa informação.

Resposta

A série converge para todos os valores de tais que .

Exercícios relacionados