Verifique se as sequências a seguir são limitadas.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a sequência é limitada. Isso está na área de matemática, mais especificamente em análise de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e como analisar o comportamento dela conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência é limitada se existe um número real que serve como uma “borda” para todos os termos da sequência. Isso quer dizer que todos os termos da sequência estão dentro de algum intervalo finito.

Passo 3

Para verificar se a sequência é limitada, vamos analisar o comportamento de quando fica cada vez maior, ou seja, quando tende ao infinito.

Passo 4

Quando temos polinômios no numerador e denominador, uma boa estratégia é dividir todos os termos pelo maior poder de que aparece no denominador. No nosso caso, o denominador tem , então vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por :

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando tende ao infinito:
  • tende a 0, porque quanto maior , menor é o valor de .
  • também tende a 0, pelo mesmo motivo.
Então, a expressão simplifica para:

Passo 6

Observamos que, conforme aumenta, também aumenta sem limite. Isso significa que não há um número real que possa servir como uma borda superior para todos os termos da sequência.

Resposta

A sequência não é limitada, pois seus termos crescem indefinidamente conforme aumenta.

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