Verifique se as sequências a seguir são limitadas.
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Passo 1

Vamos analisar a sequência . O objetivo é verificar se essa sequência é limitada, ou seja, se existe um número real que serve como limite superior para todos os termos da sequência. Para isso, vamos precisar entender como o crescimento de (exponencial) se comporta em relação ao crescimento de (linear).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência é limitada se existe um número real tal que para todo , . Isso quer dizer que os termos da sequência não crescem indefinidamente e permanecem dentro de um intervalo fixo.

Passo 3

Agora, vamos analisar os componentes da nossa sequência :
  • é uma função exponencial que cresce muito rapidamente à medida que aumenta.
  • é uma função linear que cresce de forma constante conforme aumenta.

Passo 4

Para verificar se é limitada, vamos analisar o comportamento de conforme tende ao infinito. Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções lineares. Portanto, cresce muito mais rápido que , fazendo com que aumente sem limite conforme cresce.

Passo 5

Como tende ao infinito quando tende ao infinito, não existe um número real que possa servir como limite superior para todos os termos da sequência. Ou seja, a sequência não é limitada.

Resposta

A sequência não é limitada.

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