Verifique se as sequências a seguir são limitadas.
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Passo 1
Vamos analisar a sequência
. O objetivo é verificar se essa sequência é limitada, ou seja, se existe um número real que serve como limite superior para todos os termos da sequência. Para isso, vamos precisar entender como o crescimento de
(exponencial) se comporta em relação ao crescimento de
(linear).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência
é limitada se existe um número real
tal que para todo
,
. Isso quer dizer que os termos da sequência não crescem indefinidamente e permanecem dentro de um intervalo fixo.
Passo 3
Agora, vamos analisar os componentes da nossa sequência
:
-
é uma função exponencial que cresce muito rapidamente à medida que aumenta. -
é uma função linear que cresce de forma constante conforme aumenta.
Passo 4
Para verificar se
é limitada, vamos analisar o comportamento de
conforme
tende ao infinito. Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções lineares. Portanto,
cresce muito mais rápido que
, fazendo com que
aumente sem limite conforme
cresce.
Passo 5
Como
tende ao infinito quando
tende ao infinito, não existe um número real
que possa servir como limite superior para todos os termos da sequência. Ou seja, a sequência não é limitada.
Resposta
A sequência
não é limitada.
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