Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
  • sumn=1^infty (-1)^nn+1(x+3)^n;
  • sumn=1^infty (n+1)!10^n(x-3)^n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o intervalo de convergência das séries de potências apresentadas, e também o raio de convergência quando possível. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica útil para determinar onde a série converge.

Passo 2

Vamos começar com a primeira série:
sumn=1^infty (-1)^nn+1(x+3)^n
Primeiro, identificamos a forma geral da série, que é uma série de potências centrada em . Para encontrar o intervalo de convergência, aplicamos o Teste da Razão.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão na primeira série:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^n+1(n+2)(x+3)^n+1 cdot n+1(-1)^n(x+3)^n |
Simplificando:
L = limn to infty | n+1n+2 (x+3) | = |x+3| cdot limn to infty n+1n+2 = |x+3|
Para a série convergir, |x+3| < 1 :
Isso nos dá o raio de convergência .

Passo 4

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência para a primeira série. A condição -1 < x + 3 < 1 implies -4 < x < -2 implica:
sumn=1^infty (-1)^nn+1(-4+3)^n = sumn=1^infty (-1)^nn+1(-1)^n = sumn=1^infty 1n+1
Precisamos verificar as extremidades do intervalo.
Para sumn=1^infty (-1)^nn+1(-2+3)^n = sumn=1^infty (-1)^nn+1(1)^n = sumn=1^infty (-1)^nn+1 :
Essa é a série harmônica deslocada, que diverge.
Para :
Essa é uma série alternada que converge por serem os termos decrescentes tendendo a zero.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda série:
sumn=1^infty (n+1)!10^n(x-3)^n
Novamente, identificamos que é uma série de potências centrada em . Vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o intervalo de convergência.

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão na segunda série:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (n+2)!10^n+1(x-3)^n+1 cdot 10^n(n+1)!(x-3)^-n |
Simplificando:
L = limn to infty | (n+2)(x-3)10 | = | x-310 | cdot limn to infty (n+2) = infty
Como é infinito, a série não converge para nenhum valor de , exceto possivelmente em algum ponto específico onde os termos se tornam zero.

Resposta

  • Primeira série:
    • Intervalo de convergência:
    • Raio de convergência:
  • Segunda série:
    • Não possui intervalo de convergência (série diverge para todo ).

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