Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o intervalo de convergência das séries de potências apresentadas, e também o raio de convergência quando possível. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica útil para determinar onde a série converge.
Passo 2
Vamos começar com a primeira série:
Primeiro, identificamos a forma geral da série, que é uma série de potências centrada em . Para encontrar o intervalo de convergência, aplicamos o Teste da Razão.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão na primeira série:
Simplificando:
L = limn to infty | n+1n+2 (x+3) | = |x+3| cdot limn to infty n+1n+2 = |x+3|
Para a série convergir, |x+3| < 1 :
Isso nos dá o raio de convergência.
Passo 4
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência para a primeira série. A condição -1 < x + 3 < 1 implies -4 < x < -2 implica: