Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o intervalo de convergência das séries de potências apresentadas, e também o raio de convergência quando possível. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica útil para determinar onde a série converge.
Passo 2
Vamos começar com a primeira série:
Primeiro, identificamos a forma geral da série, que é uma série de potências centrada em . Para encontrar o intervalo de convergência, aplicamos o Teste da Razão.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão na primeira série:
Simplificando:
Para a série convergir, :
Isso nos dá o raio de convergência.
Passo 4
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência para a primeira série. A condição implica:
Precisamos verificar as extremidades do intervalo.
Para :
Essa é a série harmônica deslocada, que diverge.
Para :
Essa é uma série alternada que converge por serem os termos decrescentes tendendo a zero.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda série:
Novamente, identificamos que é uma série de potências centrada em . Vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o intervalo de convergência.
Passo 6
Aplicando o Teste da Razão na segunda série:
Simplificando:
Como é infinito, a série não converge para nenhum valor de , exceto possivelmente em algum ponto específico onde os termos se tornam zero.
Resposta
Primeira série:
Intervalo de convergência:
Raio de convergência:
Segunda série:
Não possui intervalo de convergência (série diverge para todo ).