Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
  • ;
  • .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o intervalo de convergência das séries de potências apresentadas, e também o raio de convergência quando possível. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica útil para determinar onde a série converge.

Passo 2

Vamos começar com a primeira série:
Primeiro, identificamos a forma geral da série, que é uma série de potências centrada em . Para encontrar o intervalo de convergência, aplicamos o Teste da Razão.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão na primeira série:
Simplificando:
Para a série convergir, :
Isso nos dá o raio de convergência .

Passo 4

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência para a primeira série. A condição implica:
Precisamos verificar as extremidades do intervalo.
Para :
Essa é a série harmônica deslocada, que diverge.
Para :
Essa é uma série alternada que converge por serem os termos decrescentes tendendo a zero.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda série:
Novamente, identificamos que é uma série de potências centrada em . Vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o intervalo de convergência.

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão na segunda série:
Simplificando:
Como é infinito, a série não converge para nenhum valor de , exceto possivelmente em algum ponto específico onde os termos se tornam zero.

Resposta

  • Primeira série:
    • Intervalo de convergência:
    • Raio de convergência:
  • Segunda série:
    • Não possui intervalo de convergência (série diverge para todo ).

Exercícios relacionados

Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
;
Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
;
Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
;
Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
;