Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty 2^2 n+1n^n;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se a série numérica é convergente ou divergente. O conteúdo aqui envolve séries numéricas e vamos precisar utilizar testes de convergência, como o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a aplicação dos testes. A expressão dada é:
2^2n+1n^n
Podemos reescrever 2 cdot 4^nn^n = 2 cdot (4n)^n como . Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz, que é útil para séries com termos elevados a uma potência L = limn to infty raiz[n]|an| . O Teste da Raiz diz que para a série , calculamos:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando o Teste da Raiz para o nosso caso:
an = 2 cdot (4n)^n
Calculando a raiz raiz[n]|an| = raiz[n]2 cdot (4n)^n = raiz[n]2 cdot 4n -ésima:
limn to infty raiz[n]|an| = limn to infty (1 cdot 4n) = 0
Sabemos que tende a 1 quando vai para o infinito, então:

Passo 5

Como o limite , de acordo com o Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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