Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se a série numérica é convergente ou divergente. O conteúdo aqui envolve séries numéricas e vamos precisar utilizar testes de convergência, como o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a aplicação dos testes. A expressão dada é:
Podemos reescrever como . Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz, que é útil para séries com termos elevados a uma potência . O Teste da Raiz diz que para a série , calculamos:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando o Teste da Raiz para o nosso caso:
Calculando a raiz -ésima:
Sabemos que tende a 1 quando vai para o infinito, então:

Passo 5

Como o limite , de acordo com o Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
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Verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
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Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
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Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
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