Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se a série numérica
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui envolve séries numéricas e vamos precisar utilizar testes de convergência, como o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a aplicação dos testes. A expressão dada é:
Podemos reescrever
como
. Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz, que é útil para séries com termos elevados a uma potência
. O Teste da Raiz diz que para a série
, calculamos:
Se
, a série converge; se
, diverge; e se
, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Aplicando o Teste da Raiz para o nosso caso:
Calculando a raiz
-ésima:
Sabemos que
tende a 1 quando
vai para o infinito, então:
Passo 5
Como o limite
, de acordo com o Teste da Raiz, a série
converge.
Resposta
A série
é convergente.
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-
; -
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