Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente verificar se a série numérica
é convergente ou divergente. Vamos usar os testes de convergência de séries, tipo o Teste da Comparação, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser convergente ou divergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando vamos somando mais e mais termos. Se não, ela é divergente.
Passo 3
Vamos comparar a nossa série com uma série que a gente já conhece e que sabemos que converge. Olha só a série
. Essa é uma série geométrica com razão
, e sabemos que séries geométricas com razão entre -1 e 1 convergem.
Passo 4
Agora, vamos ver como os termos da nossa série se comparam com os da série geométrica. Para todo
, temos que
. Isso significa que
.
Passo 5
Como os termos da nossa série são menores que os termos de uma série convergente (a geométrica que mencionamos), pelo Teste da Comparação, a nossa série também converge.
Resposta
A série
é convergente.
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Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
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