Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty 42^n+1;

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente verificar se a série numérica sumn=1^infty 42^n+1 é convergente ou divergente. Vamos usar os testes de convergência de séries, tipo o Teste da Comparação, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser convergente ou divergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando vamos somando mais e mais termos. Se não, ela é divergente.

Passo 3

Vamos comparar a nossa série com uma série que a gente já conhece e que sabemos que converge. Olha só a série sumn=1^infty 42^n. Essa é uma série geométrica com razão 12, e sabemos que séries geométricas com razão entre -1 e 1 convergem.

Passo 4

Agora, vamos ver como os termos da nossa série se comparam com os da série geométrica. Para todo n >= 1, temos que 2^n+1 > 2^n. Isso significa que 42^n+1 < 42^n.

Passo 5

Como os termos da nossa série são menores que os termos de uma série convergente (a geométrica que mencionamos), pelo Teste da Comparação, a nossa série também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 42^n+1 é convergente.

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