Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente descobrir se a sequência é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de sequências e limites para resolver isso. Pra isso, vamos precisar analisar o comportamento dos termos à medida que cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência é formada. Observando os termos, vemos que eles alternam entre números inteiros positivos que aumentam e frações que diminuem. Podemos separar a sequência em duas subsequências:
  • Termos de posição ímpar:
  • Termos de posição par:

Passo 3

Vamos analisar cada subsequência separadamente:
  1. Subsequência ímpar: Essa é uma sequência que cresce sem parar:
    Ou seja, os termos dessa parte da sequência ficam cada vez maiores, indo para o infinito.
  2. Subsequência par: Essa sequência está diminuindo e se aproximando de zero:
    Aqui, os termos vão ficando menores e tendem para zero.

Passo 4

Para que a sequência original seja convergente, todas as suas subsequências também precisam convergir para o mesmo limite. No nosso caso, uma das subsequências vai para e a outra vai para . Como esses limites são diferentes e, na verdade, um deles não é um número real finito, a sequência não consegue ter um único limite.

Resposta

A sequência é divergente.

Exercícios relacionados

Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
;
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
  • ;
  • .
Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não-monótonas.
;
Verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
.