Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
a_n = (1, 1, 2, 1/2, 3, 1/3, 4, 1/4, ...);

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente descobrir se a sequência é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de sequências e limites para resolver isso. Pra isso, vamos precisar analisar o comportamento dos termos à medida que cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência é formada. Observando os termos, vemos que eles alternam entre números inteiros positivos que aumentam e frações que diminuem. Podemos separar a sequência em duas subsequências:
  • Termos de posição ímpar:
  • Termos de posição par:

Passo 3

Vamos analisar cada subsequência separadamente:
  1. Subsequência ímpar: Essa é uma sequência que cresce sem parar:
    Ou seja, os termos dessa parte da sequência ficam cada vez maiores, indo para o infinito.
  2. Subsequência par: Essa sequência está diminuindo e se aproximando de zero:
    Aqui, os termos vão ficando menores e tendem para zero.

Passo 4

Para que a sequência original seja convergente, todas as suas subsequências também precisam convergir para o mesmo limite. No nosso caso, uma das subsequências vai para e a outra vai para . Como esses limites são diferentes e, na verdade, um deles não é um número real finito, a sequência não consegue ter um único limite.

Resposta

A sequência é divergente.

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