Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente descobrir se a sequência
é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de sequências e limites para resolver isso. Pra isso, vamos precisar analisar o comportamento dos termos à medida que
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a sequência é formada. Observando os termos, vemos que eles alternam entre números inteiros positivos que aumentam e frações que diminuem. Podemos separar a sequência em duas subsequências:
- Termos de posição ímpar:
- Termos de posição par:
Passo 3
Vamos analisar cada subsequência separadamente:
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Subsequência ímpar: Essa é uma sequência que cresce sem parar:Ou seja, os termos dessa parte da sequência ficam cada vez maiores, indo para o infinito.
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Subsequência par: Essa sequência está diminuindo e se aproximando de zero:Aqui, os termos vão ficando menores e tendem para zero.
Passo 4
Para que a sequência original
seja convergente, todas as suas subsequências também precisam convergir para o mesmo limite. No nosso caso, uma das subsequências vai para
e a outra vai para
. Como esses limites são diferentes e, na verdade, um deles não é um número real finito, a sequência não consegue ter um único limite.
Resposta
A sequência é divergente.
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