Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potências e, se der, também o raio de convergência. Para isso, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a entender para quais valores de a série vai convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que compõe a nossa série. Temos uma série de potências na forma , onde e . O teste da razão é uma ferramenta útil para encontrar o raio de convergência dessa série.
Passo 3
Vamos aplicar o teste da razão. Esse teste diz que o limite nos ajuda a determinar a convergência da série:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Calculando o limite :
Simplificando:
Passo 5
Para que a série convirja, precisamos que :
Isso nos dá o intervalo:
Passo 6
Agora, vamos verificar o que acontece nos pontos finais e .
Para :
Essa é a série com , então converge.
Para :
Essa é uma série alternada com termos decrescentes que tendem a zero, então também converge.
Resposta
O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .