Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
© sumn=1^infty (-1)^nn^2(x-3)^n;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potências e, se der, também o raio de convergência. Para isso, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a entender para quais valores de a série vai convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que compõe a nossa série. Temos uma série de potências na forma , onde e . O teste da razão é uma ferramenta útil para encontrar o raio de convergência dessa série.

Passo 3

Vamos aplicar o teste da razão. Esse teste diz que o limite nos ajuda a determinar a convergência da série:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Calculando o limite L = limn to infty | (-1)^n+1(n+1)^2 (x - 3)^n+1(-1)^nn^2 (x - 3)^n | = limn to infty | (-1)^n+1(n+1)^2 cdot n^2(-1)^n cdot (x - 3) | :
L = limn to infty | n^2(n+1)^2 cdot (x - 3) | = |x - 3| cdot limn to infty ( nn+1 )^2 = |x - 3| cdot 1 = |x - 3|
Simplificando:

Passo 5

Para que a série convirja, precisamos que |x - 3| < 1 :
-1 < x - 3 < 1 implies 2 < x < 4
Isso nos dá o intervalo:

Passo 6

Agora, vamos verificar o que acontece nos pontos finais sumn=1^infty (-1)^nn^2 (2 - 3)^n = sumn=1^infty (-1)^nn^2 (-1)^n = sumn=1^infty 1n^2 e sumn=1^infty (-1)^nn^2 (4 - 3)^n = sumn=1^infty (-1)^nn^2 (1)^n = sumn=1^infty (-1)^nn^2 .
Para :
Essa é a série com , então converge.
Para :
Essa é uma série alternada com termos decrescentes que tendem a zero, então também converge.

Resposta

O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .

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