Estude a convergência das séries:
c) sumn=1^infty raizn5^n;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa estudar se a série converge ou não. Isso está relacionado ao estudo de convergência de séries, que é fundamental em cálculo para entender se a soma de infinitos termos chega a um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar a convergência de séries com termos que têm fatorial ou potência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . O Teste da Razão nos diz que se o limite for menor que 1, a série converge absolutamente.

Passo 3

Vamos calcular esse limite passo a passo. Primeiro, substituímos an+1an = raizn+15^n+1raizn5^n = raizn+1raizn cdot 15 e :

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão:
raizn+1raizn = raizn+1n = raiz1 + 1n
Então, o limite fica:
limn to infty raiz1 + 1n cdot 15

Passo 5

Quando raiz1 + 0 cdot 15 = 1 cdot 15 = 15 vai para o infinito, tende a 0, então:
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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