Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa estudar se a série converge ou não. Isso está relacionado ao estudo de convergência de séries, que é fundamental em cálculo para entender se a soma de infinitos termos chega a um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar a convergência de séries com termos que têm fatorial ou potência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . O Teste da Razão nos diz que se o limite for menor que 1, a série converge absolutamente.
Passo 3
Vamos calcular esse limite passo a passo. Primeiro, substituímos an+1an = raizn+15^n+1raizn5^n = raizn+1raizn cdot 15 e :
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão:
raizn+1raizn = raizn+1n = raiz1 + 1n
Então, o limite fica:
limn to infty raiz1 + 1n cdot 15
Passo 5
Quando raiz1 + 0 cdot 15 = 1 cdot 15 = 15 vai para o infinito, tende a 0, então:
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.