Estude a convergência das séries:
d) sumn=1^infty (-1)^n nn^2+1

Passo 1

Beleza, então a gente vai estudar a convergência dessa série aqui:
sumn=1^infty (-1)^n nn^2+1
Isso quer dizer que a gente precisa descobrir se essa soma infinita dá um número finito ou não. Vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque temos o termo (-1)^n que faz os termos mudarem de sinal a cada termo. Séries alternadas têm termos positivos e negativos intercalados.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada
sumn=1^infty (-1)^n an
converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an decrescem: ou seja, cada termo é menor que o anterior.
  2. O limite de an quando n vai para o infinito é zero:
limn to infty an = 0

Passo 4

No nosso caso, an = nn^2 + 1. Vamos verificar as duas condições do teste:
  1. Decrescimento dos termos:
Vamos ver se an+1 < an:
an+1 = n+1(n+1)^2 + 1 = n+1n^2 + 2n + 2
Comparando com an = nn^2 +1, percebemos que conforme n aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, então an+1 < an para n suficientemente grande.
  1. Limite dos termos:
limn to infty nn^2 + 1 = limn to infty 1n + 1n = 0
Então, as duas condições do Teste de Leibniz são satisfeitas.

Passo 5

Como a série passa no Teste da Série Alternada, podemos concluir que ela converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n nn^2+1 converge pela aplicação do Teste da Série Alternada.

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