Estude a convergência das séries:
d)
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Passo 1
Beleza, então a gente vai estudar a convergência dessa série aqui:
Isso quer dizer que a gente precisa descobrir se essa soma infinita dá um número finito ou não. Vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque temos o termo
que faz os termos mudarem de sinal a cada termo. Séries alternadas têm termos positivos e negativos intercalados.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
decrescem: ou seja, cada termo é menor que o anterior. - O limite de
quando vai para o infinito é zero:
Passo 4
No nosso caso,
. Vamos verificar as duas condições do teste:
- Decrescimento dos termos:
Vamos ver se
:
Comparando com
, percebemos que conforme
aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, então
para
suficientemente grande.
- Limite dos termos:
Então, as duas condições do Teste de Leibniz são satisfeitas.
Passo 5
Como a série passa no Teste da Série Alternada, podemos concluir que ela converge.
Resposta
A série
converge pela aplicação do Teste da Série Alternada.