Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
(a) sumn=1^infty 4^5 n x^n;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty 4^5 n x^n e, se rolar, mostrar o raio de convergência. Isso está relacionado ao estudo de séries matemáticas, onde queremos saber para quais valores de x a série “funciona”, ou seja, converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. Aqui, cada termo geral da série é an = 4^5n x^n. Para descobrir o intervalo de convergência, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de x a série converge.

Passo 3

No teste da razão, a gente calcula o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual, ou seja:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | 4^5(n+1) x^n+14^5n x^n |
Simplificando isso:
L = limn to infty | 4^5 x | = 4^5 |x| = 1024 |x|

Passo 4

Para a série convergir, o limite L precisa ser menor que 1:
1024 |x| < 1
Resolvendo para x:
|x| < 11024
Isso significa que o intervalo de convergência está entre -11024 e 11024.

Passo 5

Agora, vamos conferir os extremos desse intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
  • Para x = 11024:
sumn=1^infty 4^5n (11024)^n = sumn=1^infty (4^51024)^n = sumn=1^infty 1^n
Isso dá uma série que não converge, já que está somando 1 infinitas vezes.
  • Para x = -11024:
sumn=1^infty 4^5n (-11024)^n = sumn=1^infty (-1)^n
Essa série também não converge, pois os termos alternam entre -1 e 1 sem se aproximarem de zero.

Resposta

O intervalo de convergência é -11024 < x < 11024 e o raio de convergência é R = 11024.

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