Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências e, se rolar, mostrar o raio de convergência. Isso está relacionado ao estudo de séries matemáticas, onde queremos saber para quais valores de a série “funciona”, ou seja, converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série. Aqui, cada termo geral da série é . Para descobrir o intervalo de convergência, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
Passo 3
No teste da razão, a gente calcula o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual, ou seja:
Simplificando isso:
Passo 4
Para a série convergir, o limite precisa ser menor que 1:
Resolvendo para :
Isso significa que o intervalo de convergência está entre e .
Passo 5
Agora, vamos conferir os extremos desse intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
Para :
Isso dá uma série que não converge, já que está somando 1 infinitas vezes.
Para :
Essa série também não converge, pois os termos alternam entre -1 e 1 sem se aproximarem de zero.
Resposta
O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .