Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
sumn=1^infty 3^2 n x^n;

Passo 1

Neste exercício, temos que determinar o intervalo de convergência da série de potências . Vamos trabalhar com conceitos de séries de potências e utilizar o Teste da Razão para encontrar o intervalo e o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de forma mais simples. Observamos que sumn=1^infty 9^n x^n = sumn=1^infty (9x)^n . Assim, a série fica:

Passo 3

Para determinar o raio de convergência, aplicamos o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o limite L = limn to infty | an+1an | quando an+1an = 9^n+1 x^n+19^n x^n = 9x tende ao infinito da razão entre termos consecutivos da série:
L = limn to infty |9x| = |9x|
Onde . Calculando a razão:
Então,

Passo 4

Para que a série convirja, o limite |9x| < 1 deve ser menor que 1:
|x| < 19
Resolvendo para R = 19 :
Portanto, o raio de convergência é:

Passo 5

Agora, determinamos o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para valores de sumn=1^infty 9^n ( 19 )^n = sumn=1^infty 1 que satisfazem sumn=1^infty 9^n ( -19 )^n = sumn=1^infty (-1)^n . Além disso, precisamos verificar os extremos e .
Para :
Essa série diverge.
Para :
Essa série também diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .

Exercícios relacionados