Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
;

Passo 1

Neste exercício, temos que determinar o intervalo de convergência da série de potências . Vamos trabalhar com conceitos de séries de potências e utilizar o Teste da Razão para encontrar o intervalo e o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de forma mais simples. Observamos que . Assim, a série fica:

Passo 3

Para determinar o raio de convergência, aplicamos o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o limite quando tende ao infinito da razão entre termos consecutivos da série:
Onde . Calculando a razão:
Então,

Passo 4

Para que a série convirja, o limite deve ser menor que 1:
Resolvendo para :
Portanto, o raio de convergência é:

Passo 5

Agora, determinamos o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para valores de que satisfazem . Além disso, precisamos verificar os extremos e .
Para :
Essa série diverge.
Para :
Essa série também diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .

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Estude a convergência das séries:
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Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
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