Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência. ;
Passo 1
Neste exercício, temos que determinar o intervalo de convergência da série de potências . Vamos trabalhar com conceitos de séries de potências e utilizar o Teste da Razão para encontrar o intervalo e o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de forma mais simples. Observamos que . Assim, a série fica:
Passo 3
Para determinar o raio de convergência, aplicamos o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o limite quando tende ao infinito da razão entre termos consecutivos da série:
Onde . Calculando a razão:
Então,
Passo 4
Para que a série convirja, o limite deve ser menor que 1:
Resolvendo para :
Portanto, o raio de convergência é:
Passo 5
Agora, determinamos o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para valores de que satisfazem . Além disso, precisamos verificar os extremos e .
Para :
Essa série diverge.
Para :
Essa série também diverge.
Resposta
O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .