Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar a convergência da série . Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas e, mais especificamente, vamos usar testes de convergência para determinar se essa série soma a um valor finito ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes como o Teste da Razão ou Teste da Raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série: . Nosso objetivo é ver se essa sequência de termos tende a zero quando cresce indefinidamente, porque se os termos não tendem a zero, a série não converge.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão, que é útil para séries onde os termos têm fatoriais ou potências. O Teste da Razão nos diz para calcular o limite de conforme tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Calculando a razão dos termos consecutivos:
Passo 5
Vamos simplificar cada parte. Primeiro, . Sabemos que tende a quando vai para o infinito.
Passo 6
Agora, vamos simplificar o expoente da base :
Então, .
Passo 7
Juntando tudo:
À medida que cresce, decai muito mais rápido que cresce.