Estude a convergência das séries:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar a convergência da série . Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas e, mais especificamente, vamos usar testes de convergência para determinar se essa série soma a um valor finito ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes como o Teste da Razão ou Teste da Raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série: . Nosso objetivo é ver se essa sequência de termos tende a zero quando cresce indefinidamente, porque se os termos não tendem a zero, a série não converge.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que é útil para séries onde os termos têm fatoriais ou potências. O Teste da Razão nos diz para calcular o limite de conforme tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Calculando a razão dos termos consecutivos:

Passo 5

Vamos simplificar cada parte. Primeiro, . Sabemos que tende a quando vai para o infinito.

Passo 6

Agora, vamos simplificar o expoente da base :
Então, .

Passo 7

Juntando tudo:
À medida que cresce, decai muito mais rápido que cresce.

Passo 8

Então, o limite da razão é:
Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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