Estude a convergência das séries:

Passo 1

Vamos analisar a convergência da série . Aqui, estamos trabalhando com séries infinitas, especificamente uma série que envolve uma razão entre uma raiz e uma potência. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para verificar a convergência de séries que têm termos com fatorial ou exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. Se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o teste na nossa série. Aqui, . Então, precisamos calcular:

Passo 4

Simplificando, temos:
Portanto, o limite fica:

Passo 5

Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente pelo Teste da Razão.

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Estude a convergência das séries:
;
Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
, onde , para todo .
Estude a convergência das séries:
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
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