Estude a convergência das séries:
sumn=1^infty raizn2^n

Passo 1

Vamos analisar a convergência da série . Aqui, estamos trabalhando com séries infinitas, especificamente uma série que envolve uma razão entre uma raiz e uma potência. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para verificar a convergência de séries que têm termos com fatorial ou exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. Se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o teste na nossa série. Aqui, L = limn to infty | raizn+12^n+1raizn2^n | = limn to infty raizn+1raizn cdot 2^n2^n+1 = limn to infty raizn+1raizn cdot 12 . Então, precisamos calcular:

Passo 4

Simplificando, temos:
raizn+1raizn = raizn+1n = raiz1 + 1n xrightarrown to infty raiz1 + 0 = 1
Portanto, o limite L = 1 cdot 12 = 12 fica:

Passo 5

Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente pelo Teste da Razão.

Exercícios relacionados