Estude a convergência das séries:
e) sumn=1^infty n^ne^n^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries e testes de convergência, especialmente o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série analisando o limite da razão entre termos consecutivos. Ou seja, calculamos:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , ela diverge; e se , o teste não conclui nada.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identifiquemos an = n^ne^n^3 :
an+1 = (n+1)^n+1e^(n+1)^3
Agora, calculamos an+1an = (n+1)^n+1n^n cdot e^n^3e^(n+1)^3 :
Então, a razão fica:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, separamos os termos:
(n+1)^n+1n^n = (n+1) (1 + 1n)^n
E para os expoentes da base e^n^3e^(n+1)^3 = e^n^3 - (n+1)^3 = e^-3n^2 - 3n -1 :
an+1an = (n+1) (1 + 1n)^n cdot e^-3n^2 - 3n -1
Então, a razão completa fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty (n+1) cdot e cdot e^-3n^2 - 3n -1 = 0 tende ao infinito:
  1. tende a quando vai para o infinito.
  2. cresce linearmente, mas decai exponencialmente muito mais rápido.
Portanto,

Resposta

Como , pela Teste da Razão, a série converge.

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