Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries e testes de convergência, especialmente o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série analisando o limite da razão entre termos consecutivos. Ou seja, calculamos:
Se , a série converge; se , ela diverge; e se , o teste não conclui nada.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identifiquemos :
Agora, calculamos :
Então, a razão fica:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, separamos os termos:
E para os expoentes da base :
Então, a razão completa fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
tende a quando vai para o infinito.
cresce linearmente, mas decai exponencialmente muito mais rápido.