Estude a convergência das séries:
e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries e testes de convergência, especialmente o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série analisando o limite da razão entre termos consecutivos. Ou seja, calculamos:
Se , a série converge; se , ela diverge; e se , o teste não conclui nada.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identifiquemos :
Agora, calculamos :
Então, a razão fica:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, separamos os termos:
E para os expoentes da base :
Então, a razão completa fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
  1. tende a quando vai para o infinito.
  2. cresce linearmente, mas decai exponencialmente muito mais rápido.
Portanto,

Resposta

Como , pela Teste da Razão, a série converge.

Exercícios relacionados

Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
$(a) ;
Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
$(b) ;
$(a)
$(b) , com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Encontre a solução geral de cada equação a seguir: