$(a) (a)
$(b) , com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
integral0^pi2 sen(x^3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui são duas integrais envolvendo a função seno de . A primeira parte é uma integral indefinida, e a segunda é uma integral definida de 0 até . Para resolver isso, vamos usar a série de potências do seno que você forneceu e integrar termo a termo. Vamos precisar entender como expandir o seno em série e como integrar cada termo dessa série.

Passo 2

Parte (a): Vamos começar com a integral indefinida sin(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)! .
Sabemos que a função seno pode ser expandida em uma série de potências:
sin(x^3) = sumn=0^infty (-1)^n (x^3)^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n x^6n+3(2n+1)!
Mas aqui temos integral sin(x^3) , dx = integral sumn=0^infty (-1)^n x^6n+3(2n+1)! , dx = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! integral x^6n+3 , dx . Então, substituímos integral x^6n+3 , dx = x^6n+46n+4 + C por integral sin(x^3) , dx = sumn=0^infty (-1)^n x^6n+4(6n+4)(2n+1)! + C na série:
Agora, podemos integrar termo a termo:
A integral de é:
Então, a integral completa fica:

Passo 3

Parte (b): Agora, vamos calcular a integral definida integral0^pi2 sin(x^3) , dx = sumn=0^infty (-1)^n(6n+4)(2n+1)! [ x^6n+4 ]0^pi2 com duas casas decimais.
Vamos usar a série que obtivemos na parte (a):
integral0^pi2 sin(x^3) , dx = sumn=0^infty (-1)^n ( pi2 )^6n+4(6n+4)(2n+1)!
Substituindo os limites de integração:
1 cdot ( pi2 )^44 cdot 1! = ( pi2 )^44 approx (2.4674)4 approx 0.6169
Para calcular isso com duas casas decimais, vamos somar os termos até que a adição de novos termos não altere o resultado nas duas primeiras casas decimais.
Vamos calcular os primeiros termos:
  • n = 0:
    (-1) cdot ( pi2 )^1010 cdot 3! approx (-1) cdot 9.672660 approx -0.1612
  • n = 1:
    1 cdot ( pi2 )^1616 cdot 5! approx 1 cdot 38.0131920 approx 0.0198
  • n = 2:
    (-1) cdot ( pi2 )^2222 cdot 7! approx (-1) cdot 148.41322 cdot 5040 approx -0.0014
  • n = 3:
    0.6169 - 0.1612 + 0.0198 - 0.0014 = 0.4731
Agora, somamos esses termos:
Como o próximo termo será muito pequeno e não afetará as duas casas decimais, podemos parar por aqui.

Resposta

(a) A integral indefinida é:
integral sin(x^3) , dx = sumn=0^infty (-1)^n x^6n+4(6n+4)(2n+1)! + C
(b) A integral definida de 0 até integral0^pi2 sin(x^3) , dx approx 0,47 é aproximadamente:

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