$(a)
$(b) , com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui são duas integrais envolvendo a função seno de . A primeira parte é uma integral indefinida, e a segunda é uma integral definida de 0 até . Para resolver isso, vamos usar a série de potências do seno que você forneceu e integrar termo a termo. Vamos precisar entender como expandir o seno em série e como integrar cada termo dessa série.

Passo 2

Parte (a): Vamos começar com a integral indefinida .
Sabemos que a função seno pode ser expandida em uma série de potências:
Mas aqui temos . Então, substituímos por na série:
Agora, podemos integrar termo a termo:
A integral de é:
Então, a integral completa fica:

Passo 3

Parte (b): Agora, vamos calcular a integral definida com duas casas decimais.
Vamos usar a série que obtivemos na parte (a):
Substituindo os limites de integração:
Para calcular isso com duas casas decimais, vamos somar os termos até que a adição de novos termos não altere o resultado nas duas primeiras casas decimais.
Vamos calcular os primeiros termos:
  • n = 0:
  • n = 1:
  • n = 2:
  • n = 3:
Agora, somamos esses termos:
Como o próximo termo será muito pequeno e não afetará as duas casas decimais, podemos parar por aqui.

Resposta

(a) A integral indefinida é:
(b) A integral definida de 0 até é aproximadamente:

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Estude a convergência das séries:
e)
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
$(a) ;
Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
Encontre a solução geral de cada equação a seguir: