Determine o intervalo de convergência de: sumn=1^infty(2^n+33^n+2) x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série infinita sumn=1^infty(2^n+33^n+2) x^n e precisa descobrir para quais valores de x essa série converge. Isso faz parte da matéria de séries de potências. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar o intervalo de convergência dessas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é an = (2^n+33^n+2) x^n. O Teste da Razão diz que, se limn to infty | an+1an | = L, então:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos calcular an+1an = (2^n+1+33^n+1+2) x^n+1(2^n+33^n+2) x^n. Simplificando isso, temos:
an+1an = 2^n+1+33^n+1+2 cdot 3^n+22^n+3 cdot x

Passo 4

Agora, vamos simplificar as expressões exponenciais. Podemos reescrever 2^n+1 = 2 cdot 2^n e 3^n+1 = 3 cdot 3^n. Então:
an+1an = 2 cdot 2^n + 33 cdot 3^n + 2 cdot 3^n+22^n+3 cdot x

Passo 5

Dividindo numerador e denominador por 3^n, temos:
an+1an = 2 cdot (23)^n + 33^n3 + 23^n cdot 1 + 23^n(23)^n + 33^n cdot x

Passo 6

Quando n tende ao infinito, (23)^n e 33^n vão a zero. Então, simplificando:
limn to infty an+1an = 0 + 03 + 0 cdot 1 + 00 + 0 cdot x = 03 cdot 10 cdot x = 0
Na verdade, percebi que fiz uma simplificação errada aqui. Vamos refazer de uma maneira mais correta.

Passo 7

Vamos focar nos termos dominantes. No numerador original 2^n + 33^n + 2, para grandes n, 2^n domina sobre 3 e 3^n domina sobre 2. Então, podemos aproximar:
2^n + 33^n + 2 approx 2^n3^n = (23)^n
Então, a série original se comporta aproximadamente como sum (23)^n x^n = sum (2x3)^n.

Passo 8

Agora, temos uma série geométrica da forma sum r^n, que converge se |r| < 1. Aqui, r = 2x3. Então, para convergência:
| 2x3 | < 1

Passo 9

Resolvendo a desigualdade:
| 2x3 | < 1 Rightarrow |x| < 32

Resposta

O intervalo de convergência da série é |x| < dfrac32. Ou seja, x in (-dfrac32, dfrac32).

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