Beleza, vamos lá! A gente tem a série infinita e precisa descobrir para quais valores de essa série converge. Isso faz parte da matéria de séries de potências. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar o intervalo de convergência dessas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . O Teste da Razão diz que, se , então:
Quando n tende ao infinito, (23)^n e 33^n vão a zero. Então, simplificando:
limn to infty an+1an = 0 + 03 + 0 cdot 1 + 00 + 0 cdot x = 03 cdot 10 cdot x = 0
Na verdade, percebi que fiz uma simplificação errada aqui. Vamos refazer de uma maneira mais correta.
Passo 7
Vamos focar nos termos dominantes. No numerador original 2^n + 33^n + 2, para grandes n, 2^n domina sobre 3 e 3^n domina sobre 2. Então, podemos aproximar:
2^n + 33^n + 2 approx 2^n3^n = (23)^n
Então, a série original se comporta aproximadamente como sum (23)^n x^n = sum (2x3)^n.
Passo 8
Agora, temos uma série geométrica da forma sum r^n, que converge se |r| < 1. Aqui, r = 2x3. Então, para convergência:
| 2x3 | < 1
Passo 9
Resolvendo a desigualdade:
| 2x3 | < 1 Rightarrow |x| < 32
Resposta
O intervalo de convergência da série é |x| < dfrac32. Ou seja, x in (-dfrac32, dfrac32).