(f) O que é uma região sólida do tipo 3 ? Como calcular integral triplaE f(x, y, z) d V se E for uma região deste tipo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você está perguntando sobre o que é uma região sólida do tipo 3 e como calcular a tripla integral quando é esse tipo de região. Isso está ligado ao estudo de integrais múltiplas, especificamente em cálculo multivariável, onde trabalhamos com integrais sobre regiões no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma região sólida do tipo 3. Em cálculo, as regiões sólidas são classificadas em diferentes tipos com base em como seus limites são descritos. Uma região do tipo 3 é aquela onde:
  • x varia entre duas funções que dependem de y e z, ou seja, e .
  • y varia entre duas funções que dependem de z, ou seja, e .
  • z varia entre dois valores constantes, e .
Em outras palavras, para o tipo 3, a ordem de integração típica é d d d , onde cada variável de integração tem seus limites definidos em termos das outras.

Passo 3

Agora que sabemos o que é uma região do tipo 3, vamos ver como calcular a tripla integral integral triplaE f(x, y, z) , dV = integralz=e^f integraly=c(z)^d(z) integralx=a(y, z)^b(y, z) f(x, y, z) , dx , dy , dz sobre essa região. O processo envolve definir os limites de integração para cada variável com base na descrição da região.
Passo a passo:
  1. Definir os limites de : Determine as funções que limitam em termos de e , ou seja, e .
  2. Definir os limites de : Estabeleça como varia em termos de , ou seja, e .
  3. Definir os limites de : Identifique os valores mínimos e máximos de , que são constantes, e .
  4. Montar a integral: Com esses limites, a tripla integral fica organizada na ordem d d d , ou seja:

Passo 4

Vamos resumir tudo: para calcular onde é uma região sólida do tipo 3, você precisa:
  1. Identificar os limites de em termos de e .
  2. Identificar os limites de em termos de .
  3. Determinar os limites de como constantes.
  4. Configurar a tripla integral na ordem adequada usando esses limites.

Resposta

Uma região sólida do tipo 3 é aquela onde integral triplaE f(x, y, z) , dV = integralz=e^f integraly=c(z)^d(z) integralx=a(y, z)^b(y, z) f(x, y, z) , dx , dy , dz varia entre duas funções de e , varia entre duas funções de , e varia entre dois valores constantes. Para calcular sobre essa região, definimos os limites de integração para , e conforme esses critérios e montamos a integral na ordem d d d , assim:

Exercícios relacionados