(f) O que é uma região sólida do tipo 3 ? Como calcular
se
for uma região deste tipo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você está perguntando sobre o que é uma região sólida do tipo 3 e como calcular a tripla integral
quando
é esse tipo de região. Isso está ligado ao estudo de integrais múltiplas, especificamente em cálculo multivariável, onde trabalhamos com integrais sobre regiões no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma região sólida do tipo 3. Em cálculo, as regiões sólidas são classificadas em diferentes tipos com base em como seus limites são descritos. Uma região do tipo 3 é aquela onde:
- x varia entre duas funções que dependem de y e z, ou seja,
e . - y varia entre duas funções que dependem de z, ou seja,
e . - z varia entre dois valores constantes,
e .
Em outras palavras, para o tipo 3, a ordem de integração típica é d
d
d
, onde cada variável de integração tem seus limites definidos em termos das outras.
Passo 3
Agora que sabemos o que é uma região do tipo 3, vamos ver como calcular a tripla integral
sobre essa região. O processo envolve definir os limites de integração para cada variável com base na descrição da região.
Passo a passo:
-
Definir os limites de
: Determine as funções que limitam em termos de e , ou seja, e . -
Definir os limites de
: Estabeleça como varia em termos de , ou seja, e . -
Definir os limites de
: Identifique os valores mínimos e máximos de , que são constantes, e . -
Montar a integral: Com esses limites, a tripla integral fica organizada na ordem d
d d , ou seja:
Passo 4
Vamos resumir tudo: para calcular
onde
é uma região sólida do tipo 3, você precisa:
- Identificar os limites de
em termos de e . - Identificar os limites de
em termos de . - Determinar os limites de
como constantes. - Configurar a tripla integral na ordem adequada usando esses limites.
Resposta
Uma região sólida do tipo 3 é aquela onde
varia entre duas funções de
e
,
varia entre duas funções de
, e
varia entre dois valores constantes. Para calcular
sobre essa região, definimos os limites de integração para
,
e
conforme esses critérios e montamos a integral na ordem d
d
d
, assim: