Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas e os testes de convergência, como o teste da comparação e o teste da série alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Sabemos que o seno de múltiplos de
tem propriedades interessantes. Vamos simplificar isso.
Passo 3
A expressão dentro do seno é
. Sabemos que
se
for inteiro. Mas como
é inteiro, temos:
Isso porque:
Passo 4
Então, o termo geral fica:
Agora, nossa série é uma série alternada, pois os termos alternam sinais devido ao
.
Passo 5
Para testar a convergência de séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se:
- Os termos em módulo
são decrescentes. -
.
Então a série converge.
Passo 6
Vamos verificar esses dois pontos:
-
é decrescente porque, conforme aumenta, o denominador aumenta, fazendo com que a fração diminua. -
, já que o denominador tende ao infinito.
Passo 7
Como ambos os critérios do Teste da Série Alternada são satisfeitos, podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série
converge.