Teste a série quanto a convergência ou divergência. sumn=0^infty sin (n+12) pi1+raizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar se a série sumn=0^infty sin (n+12) pi1+raizn converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas e os testes de convergência, como o teste da comparação e o teste da série alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: sin (n+12) pi1+raizn. Sabemos que o seno de múltiplos de pi tem propriedades interessantes. Vamos simplificar isso.

Passo 3

A expressão dentro do seno é (n + 12)pi. Sabemos que sin(kpi + pi2) = sin(pi2) = 1 se k for inteiro. Mas como n é inteiro, temos:
sin((n + 12)pi) = (-1)^n
Isso porque:
sin(npi + pi2) = (-1)^n sin(pi2) = (-1)^n

Passo 4

Então, o termo geral fica:
(-1)^n1 + raizn
Agora, nossa série é uma série alternada, pois os termos alternam sinais devido ao (-1)^n.

Passo 5

Para testar a convergência de séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se:
  1. Os termos em módulo |an| são decrescentes.
  2. limn to infty an = 0.
    Então a série converge.

Passo 6

Vamos verificar esses dois pontos:
  1. |an| = 11 + raizn é decrescente porque, conforme n aumenta, o denominador aumenta, fazendo com que a fração diminua.
  2. limn to infty 11 + raizn = 0, já que o denominador tende ao infinito.

Passo 7

Como ambos os critérios do Teste da Série Alternada são satisfeitos, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série sumn=0^infty sin (n+12) pi1+raizn converge.

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