Determine o intervalo de convergência.
sumn=0^infty x^2 n+1(-4)^n Resp (-2,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série infinita
sumn=0^infty x^2n+1(-4)^n
Isso significa que queremos saber para quais valores de essa série soma a um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a identificar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação do teste. Observamos que:
x^2n+1(-4)^n = x cdot ( x^2-4 )^n
Então, a série fica:
x cdot sumn=0^infty ( x^2-4 )^n

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que a série
sumn=0^infty an
converge se:
limn to infty | an+1an | < 1
No nosso caso, an+1an = ( x^2-4 )^n+1( x^2-4 )^n = x^2-4 . Então,
| x^2-4 | = x^24
Tomando o valor absoluto:

Passo 4

Para que a série convirja, precisamos que:
x^24 < 1
Resolvendo essa desigualdade:
x^2 < 4 Rightarrow |x| < 2
Isso significa que a série converge para todos os tais que está entre -2 e 2.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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