Determine um intervalo em que a função
possui inversa e determine sua inversa neste intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir em qual intervalo ela tem uma inversa. Pra ter uma inversa, a função precisa ser uma para uma nesse intervalo, ou seja, cada valor de
tem só um
correspondente. Vamos precisar ver onde a função é crescente ou decrescente para garantir isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a forma da função.
é uma parábola que abre pra cima porque o coeficiente de
é positivo. Isso significa que tem um ponto mínimo, e a função é decrescente antes desse ponto e crescente depois dele.
Passo 3
Para encontrar onde a função muda de decrescente para crescente, encontramos o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada
do vértice é
. Aqui,
e
, então:
Assim, a função é decrescente para
e crescente para
.
Passo 4
Para facilitar, vamos escolher o intervalo onde a função é crescente, ou seja,
. Nesse intervalo, a função é uma para uma e tem inversa.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a inversa. Começamos substituindo
por
:
Vamos resolver para
:
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Aqui,
,
, e
:
Como escolhemos o intervalo onde a função é crescente, pegamos o sinal positivo:
Então, a inversa é:
Resposta
A função
tem inversa no intervalo
. A inversa nesse intervalo é: