Determine um intervalo em que a função F(x) = x^2 + x + 1 possui inversa e determine sua inversa neste intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir em qual intervalo ela tem uma inversa. Pra ter uma inversa, a função precisa ser uma para uma nesse intervalo, ou seja, cada valor de tem só um correspondente. Vamos precisar ver onde a função é crescente ou decrescente para garantir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a forma da função. é uma parábola que abre pra cima porque o coeficiente de é positivo. Isso significa que tem um ponto mínimo, e a função é decrescente antes desse ponto e crescente depois dele.

Passo 3

Para encontrar onde a função muda de decrescente para crescente, encontramos o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada do vértice é . Aqui, e , então:
Assim, a função é decrescente para e crescente para .

Passo 4

Para facilitar, vamos escolher o intervalo onde a função é crescente, ou seja, . Nesse intervalo, a função é uma para uma e tem inversa.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inversa. Começamos substituindo por :
Vamos resolver para :
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Aqui, , , e :
Como escolhemos o intervalo onde a função é crescente, pegamos o sinal positivo:
Então, a inversa é:

Resposta

A função tem inversa no intervalo . A inversa nesse intervalo é:

Exercícios relacionados