Suponha que uma população de gambás foi introduzida numa reserva ecológica, em Piripiri, em 2006 e que era constituído por 23 animais. Admita que a população cresceu, na reserva de acordo com a seguinte função: Q(t) = 250 / (1 + A e^(-k t)) onde Q(t) corresponde ao número de gambás existentes t anos após a chegada dos primeiros 23 gambás na reserva. Sabendo-se que, decorridos 5 anos verificou-se que havia 56 gambás, pergunta-se
A. Quantos gambás, aproximadamente, há na reserva hoje?
B. Quantos anos terão de decorrer até que, na reserva, o número de gambás seja 180 ?
C. Será possível que o número de gambás ultrapasse 250 animais?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma população inicial de 23 gambás introduzida em uma reserva ecológica em 2006. A população cresce de acordo com a função:
onde é o número de gambás após anos. Sabemos que, após 5 anos, há 56 gambás. Vamos usar conceitos de crescimento logístico para resolver as perguntas. Precisaremos encontrar os valores dos parâmetros e para responder às questões A, B e C.

Passo 2

Vamos encontrar o valor de usando a condição inicial. Quando (ano de 2006), temos .
Substituindo na fórmula:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora, vamos usar a condição de que após 5 anos ( ), há 56 gambás para encontrar .
Substituindo na fórmula:
Vamos resolver para :
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 4

Com e , a função de crescimento fica:
Agora, podemos responder às perguntas.

A. Quantos gambás, aproximadamente, há na reserva hoje?

“Hoje” refere-se ao ano atual, 2023. Como os gambás foram introduzidos em 2006, anos.
Substituindo na função:

Resposta

A aproximadamente 196 gambás há na reserva hoje.

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