Suponha que uma população de gambás foi introduzida numa reserva ecológica, em Piripiri, em 2006 e que era constituído por 23 animais. Admita que a população cresceu, na reserva de acordo com a seguinte função:
onde
corresponde ao número de gambás existentes t anos após a chegada dos primeiros 23 gambás na reserva. Sabendo-se que, decorridos 5 anos verificou-se que havia 56 gambás, pergunta-se
A. Quantos gambás, aproximadamente, há na reserva hoje?
B. Quantos anos terão de decorrer até que, na reserva, o número de gambás seja 180 ?
C. Será possível que o número de gambás ultrapasse 250 animais?
A. Quantos gambás, aproximadamente, há na reserva hoje?
B. Quantos anos terão de decorrer até que, na reserva, o número de gambás seja 180 ?
C. Será possível que o número de gambás ultrapasse 250 animais?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma população inicial de 23 gambás introduzida em uma reserva ecológica em 2006. A população cresce de acordo com a função:
onde
é o número de gambás após
anos. Sabemos que, após 5 anos, há 56 gambás. Vamos usar conceitos de crescimento logístico para resolver as perguntas. Precisaremos encontrar os valores dos parâmetros
e
para responder às questões A, B e C.
Passo 2
Vamos encontrar o valor de
usando a condição inicial. Quando
(ano de 2006), temos
.
Substituindo na fórmula:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora, vamos usar a condição de que após 5 anos (
), há 56 gambás para encontrar
.
Substituindo na fórmula:
Vamos resolver para
:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 4
Com
e
, a função de crescimento fica:
Agora, podemos responder às perguntas.
A. Quantos gambás, aproximadamente, há na reserva hoje?
“Hoje” refere-se ao ano atual, 2023. Como os gambás foram introduzidos em 2006,
anos.
Substituindo na função:
Resposta
A aproximadamente 196 gambás há na reserva hoje.