A inversa de uma função crescente é sempre uma função crescente? Justifique! Dê exemplo de uma função inversível cuja inversa não seja crescente nem decrescente

Passo 1

Vamos analisar a questão: "A inversa de uma função crescente é sempre uma função crescente? Justifique! Dê exemplo de uma função inversível cuja inversa não seja crescente nem decrescente."
Aqui, estamos lidando com funções crescentes e suas funções inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser crescente e como determinar a monotonicidade da sua inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função crescente. Uma função é dita crescente se, para quaisquer dois valores e no domínio de , quando , então .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a função inversa. A inversa de uma função , denotada por , “desfaz” o que a função faz. Ou seja, se , então .

Passo 4

Se é uma função crescente e injetora (ou seja, cada valor de saída é associado a apenas um valor de entrada), então sua inversa também será uma função crescente. Isso acontece porque a ordem dos valores é preservada na inversa.
Exemplo: Considere a função , que é claramente crescente. Sua inversa é , que também é crescente.

Passo 5

Agora, vamos responder à segunda parte da questão: "Dê exemplo de uma função inversível cuja inversa não seja crescente nem decrescente."
No contexto de funções reais (ou seja, funções que mapeiam números reais para números reais), não existe uma função inversível cuja inversa não seja estritamente crescente ou estritamente decrescente. Isso porque, para uma função ser inversível no conjunto dos números reais, ela deve ser estritamente monotônica (sempre crescente ou sempre decrescente). Se a função não for estritamente monotônica, ela não será injetora e, portanto, não terá uma inversa bem definida.

Resposta

Sim, a inversa de uma função crescente é sempre uma função crescente. Além disso, não existe uma função inversível cujo inverso não seja crescente nem decrescente.

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