Determine o intervalo de maior amplitude dentro do qual o problema de valor inicial proposto tem uma única solução (Não é necessário determinar tal solução) x y'' + 3 y = x, y(1) = 1 e y'(1) = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um problema de valor inicial dado pela equação diferencial:
com as condições iniciais:
Queremos determinar o intervalo de maior amplitude em que esse problema possui uma única solução. Para isso, vamos utilizar a Teoria da Existência e Unicidade para equações diferenciais.

Passo 2

A Teoria da Existência e Unicidade nos diz que, para que haja uma solução única para um problema de valor inicial, as funções que aparecem na equação diferencial devem ser contínuas no intervalo considerado.
Vamos reescrever a equação diferencial de forma padrão para facilitar a análise. Primeiro, dividimos toda a equação por (supondo que ):
Agora, a equação está na forma:
onde:
  • (já que não há termo )

Passo 3

Para aplicar a teoria, precisamos que as funções , e sejam contínuas no intervalo que estamos considerando. Vamos verificar a continuidade dessas funções:
  • é contínua para todo .
  • é contínua exceto quando .
  • é contínua para todo .
Portanto, a única restrição para a continuidade das funções é que .

Passo 4

Dado que está nas condições iniciais, precisamos escolher um intervalo que contenha e que não inclua o ponto onde a função não é contínua, ou seja, .
Assim, o maior intervalo possível que contém e onde todas as funções são contínuas é:

Resposta

O intervalo de maior amplitude onde o problema de valor inicial possui uma única solução é .

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