Mostre que se e são funções tal que (Wronskiano) para algum então e são L.I. em .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas funções, e , e sabemos que o Wronskiano delas, , é diferente de zero em algum ponto do intervalo . O objetivo é mostrar que, nessa condição, as funções e são linearmente independentes (L.I.) no intervalo .
Conteúdo da matéria: O enunciado envolve conceitos de análise matemática, especificamente sobre linearidade e o Wronskiano de funções. Precisaremos entender o que significa o Wronskiano e como ele se relaciona com a linearidade das funções.
Passo 2
Vamos começar definindo o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é uma função definida por:
O Wronskiano nos ajuda a determinar se as funções são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes (L.I.). Duas funções e são L.I. no intervalo se não existirem constantes e , não ambas zero, tais que:
Em outras palavras, uma função não pode ser escrita como múltiplo da outra.
Passo 4
Para mostrar que e são L.I., usaremos o Wronskiano. A propriedade chave é: se o Wronskiano é diferente de zero em algum ponto do intervalo , então as funções são linearmente independentes no intervalo .
Passo 5
Dado que , sabemos que:
Isso implica que as funções e suas derivadas não estão relacionadas por uma constante escalar, o que é uma condição para a linearidade.
Passo 6
Se assumirmos, para fins de contradição, que e são linearmente dependentes no intervalo , então existiriam constantes e não ambas zero tais que:
Derivando ambos os lados em relação a :
Passo 7
Agora, se formarmos o Wronskiano usando essas equações, teremos:
Isso contradiz nossa suposição inicial de que .
Resposta
Portanto, concluímos que, se o Wronskiano é diferente de zero para algum no intervalo , então as funções e são linearmente independentes no intervalo .