Determine o intervalo de maior amplitude dentro do qual o problema de valor inicial proposto tem uma única solução (Não é necessário determinar tal solução)
e
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o enunciado pede para determinar o intervalo de maior amplitude onde o problema de valor inicial tem uma única solução. Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem, que é o assunto principal aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender os coeficientes da equação e onde eles são contínuos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar claro os coeficientes. A equação dada é:
Vamos dividir tudo por
para deixar a equação na forma padrão:
Passo 3
Agora, identificamos os coeficientes da equação:
Esses coeficientes precisam ser contínuos no intervalo onde queremos que a solução exista e seja única.
Passo 4
Vamos analisar onde os coeficientes não são definidos, ou seja, onde os denominadores são zero:
- Para
e , o denominador quando ou .
Portanto, os coeficientes não são contínuos em
e
.
Passo 5
A condição inicial está em
. Queremos encontrar o maior intervalo ao redor de
onde os coeficientes são contínuos. Observamos que:
- Entre
e , os coeficientes são contínuos porque não alcançamos os pontos de descontinuidade.
Passo 6
Portanto, o maior intervalo onde a solução é única, que inclui
e evita os pontos de descontinuidade, é o intervalo aberto entre 0 e 4.
Resposta
O intervalo de maior amplitude onde o problema de valor inicial proposto tem uma única solução é
.