Determine o intervalo de maior amplitude dentro do qual o problema de valor inicial proposto tem uma única solução (Não é necessário determinar tal solução) x(x-4) * d^2y/dx^2 + 5x * dy/dx + 4y = 3, y(3) = 0 e y'(3) = -1

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o enunciado pede para determinar o intervalo de maior amplitude onde o problema de valor inicial tem uma única solução. Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem, que é o assunto principal aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender os coeficientes da equação e onde eles são contínuos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar claro os coeficientes. A equação dada é:
Vamos dividir tudo por para deixar a equação na forma padrão:

Passo 3

Agora, identificamos os coeficientes da equação:
Esses coeficientes precisam ser contínuos no intervalo onde queremos que a solução exista e seja única.

Passo 4

Vamos analisar onde os coeficientes não são definidos, ou seja, onde os denominadores são zero:
  • Para P(x) e Q(x), o denominador quando x = 0 ou .
Portanto, os coeficientes não são contínuos em x = 0 e .

Passo 5

A condição inicial está em . Queremos encontrar o maior intervalo ao redor de onde os coeficientes são contínuos. Observamos que:
  • Entre x = 0 e , os coeficientes são contínuos porque não alcançamos os pontos de descontinuidade.

Passo 6

Portanto, o maior intervalo onde a solução é única, que inclui e evita os pontos de descontinuidade, é o intervalo aberto entre 0 e 4.

Resposta

O intervalo de maior amplitude onde o problema de valor inicial proposto tem uma única solução é .

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