Mostre que W[y1, y2](x)=e^integral p(x) d x neq 0 para todo x in R, ou seja, y1(x) e y2(x) são LI. Este resultado mostra que se y1(x) é solução da EDO y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=0 e tivermos y2(x)=y1(x) cdot integral e^-integral p(x) d x(y1(x))^2 d x então y(x)=c1 y1(x)+c2 y2(x) é solução geral da EDO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o Wronskiano nunca é zero para todo real, o que significa que as funções e são linearmente independentes (LI). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano, como calcular ele e usar propriedades de soluções de equações diferenciais ordinárias (EDOs) de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções W[y1, y2](x) = y1(x) & y2(x) y1'(x) & y2'(x) = y1(x) y2'(x) - y2(x) y1'(x) e , o Wronskiano é definido por:
Ele nos ajuda a determinar se as funções são linearmente independentes. Se o Wronskiano não for zero em algum ponto do intervalo considerado, as funções são LI nesse intervalo.

Passo 3

Sabemos que y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 é uma solução da EDO homogênea de segunda ordem:
E que também é uma solução dessa EDO. Nosso objetivo é calcular o Wronskiano dessas duas soluções e mostrar que ele é igual a , que é diferente de zero para todo .

Passo 4

Vamos calcular o Wronskiano y2'(x) = y1'(x) cdot integral e^-integral p(x) dx(y1(x))^2 dx + y1(x) cdot e^-integral p(x) dx(y1(x))^2 . Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de y2'(x) = y1'(x) cdot integral e^-integral p(x) dx(y1(x))^2 dx + e^-integral p(x) dxy1(x) . Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos W[y1, y2](x) = y1 cdot ( y1' cdot integral e^-integral p(x) dx(y1)^2 dx + e^-integral p(x) dxy1 ) - y2 cdot y1' e W[y1, y2](x) = y1 cdot e^-integral p(x) dxy1 = e^-integral p(x) dx cdot y1 cdot 1y1 = e^-integral p(x) dx na expressão do Wronskiano:
Substituindo :
No entanto, parece que houve um engano na simplificação. Vamos reavaliar.

Passo 6

Reescrevendo o Wronskiano:
W = y1 cdot y2' - y2 cdot y1' = y1 cdot ( y1' cdot integral e^-integral p(x) dxy1^2 dx + e^-integral p(x) dxy1 ) - y1 cdot integral e^-integral p(x) dxy1^2 dx cdot y1'
Distribuindo:
W = y1 y1' integral e^-integral p(x) dxy1^2 dx + e^-integral p(x) dx - y1 y1' integral e^-integral p(x) dxy1^2 dx
Observamos que os termos W = e^-integral p(x) dx se cancelam:

Passo 7

Notamos que o Wronskiano obtido é:
W[y1, y2](x) = e^-integral p(x) dx
Para mostrar que W(x) = W(x0) e^-integralx0^x p(t) dt , precisamos verificar a consistência. Pela fórmula de Abel, sabemos que para uma EDO da forma , o Wronskiano satisfaz:
Comparando com o que obtivemos, percebemos que há uma diferença de sinal no expoente. Isso sugere que houve um erro na aplicação da fórmula ou na definição de .

Passo 8

Reavaliando a definição de y2(x) = y1(x) cdot integral e^-integral p(x) dx(y1(x))^2 dx , vejo que a fórmula correta para uma segunda solução linearmente independente, dada , é:
Portanto, o Wronskiano correto é realmente , e para que seja igual a , precisaríamos ajustar a definição original. Contudo, conforme a fórmula de Abel, o Wronskiano deve ser proporcional a , confirmando que ele nunca é zero se for contínua, o que garante que as soluções são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, mostramos que para todo . Assim, as funções e são linearmente independentes (LI), e a solução geral da EDO é .

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