Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o intervalo máximo de convergência da série de potências:
Isso significa que vamos descobrir para quais valores de essa série “funciona”, ou seja, soma até um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática que ajuda a determinar onde uma série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série de potências. A ideia é calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (x+1)^n+1(n+2) ln^2(n+2) cdot (n+1) ln^2(n+1)(x+1)^n |
Passo 5
Vamos analisar cada parte do limite:
L = |x+1| cdot 1 cdot 1 = |x+1| tende a 1 quando vai para o infinito.
também tende a 1, já que e são muito próximos para grande.
Então, o limite fica:
Passo 6
Para que a série convirja, precisamos que |x+1| < 1 :
-1 < x + 1 < 1
Isso significa que:
-2 < x < 0
Subtraindo 1 em todas as partes:
Passo 7
Agora, precisamos verificar o que acontece nos pontos extremos sumn=1^infty (-2+1)^n(n+1) ln^2(n+1) = sumn=1^infty (-1)^n(n+1) ln^2(n+1) e sumn=1^infty (0+1)^n(n+1) ln^2(n+1) = sumn=1^infty 1(n+1) ln^2(n+1) .
Para :
Essa é uma série alternada. Pelo Teste da Série Alternada, se os termos diminuem e tendem a zero, a série converge.
Para :
Essa é uma série do tipo , que converge pelo Teste da Integral, já que a integral de converge.
Passo 8
Como a série converge tanto em quanto em , o intervalo de convergência inclui esses pontos.