Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo: sumn=1^infty (x+1)^n(n+1) ln ^2(n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o intervalo máximo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (x+1)^n(n+1) ln^2(n+1)
Isso significa que vamos descobrir para quais valores de essa série “funciona”, ou seja, soma até um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática que ajuda a determinar onde uma série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série de potências. A ideia é calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da nossa série:
an = (x+1)^n(n+1) ln^2(n+1)
Agora, vamos calcular an+1 = (x+1)^n+1(n+2) ln^2(n+2) :

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, temos:
Simplificando:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (x+1)^n+1(n+2) ln^2(n+2) cdot (n+1) ln^2(n+1)(x+1)^n |

Passo 5

Vamos analisar cada parte do limite:
  1. L = |x+1| cdot 1 cdot 1 = |x+1| tende a 1 quando vai para o infinito.
  2. também tende a 1, já que e são muito próximos para grande.
Então, o limite fica:

Passo 6

Para que a série convirja, precisamos que |x+1| < 1 :
-1 < x + 1 < 1
Isso significa que:
-2 < x < 0
Subtraindo 1 em todas as partes:

Passo 7

Agora, precisamos verificar o que acontece nos pontos extremos sumn=1^infty (-2+1)^n(n+1) ln^2(n+1) = sumn=1^infty (-1)^n(n+1) ln^2(n+1) e sumn=1^infty (0+1)^n(n+1) ln^2(n+1) = sumn=1^infty 1(n+1) ln^2(n+1) .
  1. Para :
    Essa é uma série alternada. Pelo Teste da Série Alternada, se os termos diminuem e tendem a zero, a série converge.
  2. Para :
    Essa é uma série do tipo , que converge pelo Teste da Integral, já que a integral de converge.

Passo 8

Como a série converge tanto em quanto em , o intervalo de convergência inclui esses pontos.

Resposta

O intervalo máximo de convergência da série é .

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