Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo: sumn=1^infty ln ne^n(x-e)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo máximo de convergência da série de potências . Isso está dentro do conteúdo de séries de potências, e para resolver, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o teste da razão. Esse teste analisa o limite da razão entre termos consecutivos da série para determinar a convergência. A fórmula geral do teste é:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an = ln ne^n(x - e)^n na nossa série. Aqui, temos:
an+1 = ln (n+1)e^n+1(x - e)^n+1
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos montar a razão | an+1an | = | ln (n+1)e^n+1(x - e)^n+1ln ne^n(x - e)^n | :
| ln (n+1)ln n cdot 1e cdot (x - e) |
Simplificando isso, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | ln (n+1)ln n cdot 1e cdot (x - e) | tende ao infinito:
limn to infty ln (n+1)ln n = 1
Sabemos que:
L = | 1e cdot (x - e) | = |x - e|e
Portanto, o limite simplifica para:

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que |x - e|e < 1 :
|x - e| < e
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

A inequação e - e < x < e + e implies 0 < x < 2e significa que está a menos de unidades de distância de . Isso nos dá o intervalo:

Resposta

O intervalo máximo de convergência da série é .

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