Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo: sumn=1^infty x^nn^3+1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o intervalo máximo de convergência da série de potências sumn=1^infty x^nn^3+1. Para isso, vamos utilizar conceitos de Análise de Séries de Potências e aplicar o Teste da Razão para encontrar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos da série de potências. A série dada é:
sumn=1^infty x^nn^3+1
Aqui, cada termo geral é x^nn^3+1, que podemos escrever como an x^n, onde an = 1n^3+1.

Passo 3

Para encontrar o intervalo de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o raio de convergência R da série. Calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1x^n+1an x^n | = limn to infty | x cdot n^3+1(n+1)^3+1 |

Passo 4

Simplificamos o limite:
L = |x| cdot limn to infty n^3+1(n+1)^3+1
Para grandes valores de n, os termos de maior grau dominam, então:
n^3+1(n+1)^3+1 approx n^3(n+1)^3 = ( nn+1 )^3 approx 1
Portanto, o limite L simplifica para:
L = |x|

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, a série converge se L < 1, ou seja:
|x| < 1
Isso nos dá o raio de convergência R = 1, e o intervalo inicial de convergência é (-1, 1).

Passo 6

Para determinar se os pontos finais x = -1 e x = 1 estão inclusos no intervalo de convergência, vamos analisar cada caso:
  • Para x = 1:
sumn=1^infty 1n^3+1
Como 1n^3+1 é menor que 1n^3 e a série sum 1n^3 converge (série p com p=3 > 1), a série original também converge por comparação.
  • Para x = -1:
sumn=1^infty (-1)^nn^3+1
Essa é uma série alternada onde os termos 1n^3+1 diminuem e tendem a zero. Pelo Teste da Série Alternada, a série converge.

Resposta

O intervalo máximo de convergência da série sumn=1^infty x^nn^3+1 é [-1,,1].

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