Dê outras cinco integrais iteradas iguais a
integral0^2 integral0^y^3 integral0^y^2 f(x, y, z) d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral dada:
integral0^2 integral0^y^3 integral0^y^2 f(x, y, z), dz, dx, dy
Estamos trabalhando com integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração respeitando os limites de cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração atuais:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada valor de , varia de 0 a .
  • Para cada par de valores , varia de 0 a .
Isso define uma região no espaço tridimensional onde a função está sendo integrada. Para encontrar outras integrais iteradas iguais, vamos reorganizar a ordem de integração, ou seja, mudar a sequência em que integramos em relação a , e .

Passo 3

Vamos visualizar a região de integração para facilitar a mudança de ordem. Sabemos que:
  • está entre 0 e 2.
  • está entre 0 e , o que implica que é maior ou igual a .
  • está entre 0 e , o que também implica que é maior ou igual a .
Com isso, podemos expressar os limites de integração de outras maneiras, fixando a ordem das variáveis. Por exemplo, podemos começar integrando em relação a , depois , e por último .

Passo 4

Vamos agora escrever cinco outras integrais iteradas mudando a ordem das integrais:
  1. Ordem integral0^4 integralraizz^2 integral0^y^3 f(x, y, z), dx, dy, dz :
    • integral0^8 integralx^1/3^2 integral0^y^2 f(x, y, z), dz, dy, dx de 0 a 4 (já que integral0^2 integral0^y^2 integral0^y^3 f(x, y, z), dx, dz, dy vai até 2 e integral0^8 integralx^1/3^2 integral0^y^2 f(x, y, z), dz, dy, dx , então integral0^4 integral0^(2)^3 integralraizz^2 f(x, y, z), dy, dx, dz ).
    • Para cada , varia de a 2.
    • Para cada , varia de 0 a .
  2. Ordem :
    • de 0 a 8 (já que e , então ).
    • Para cada , varia de a 2.
    • Para cada , varia de 0 a .
  3. Ordem :
    • de 0 a 2.
    • Para cada , varia de 0 a .
    • Para cada , varia de 0 a .
  4. Ordem :
    • de 0 a 8.
    • Para cada , varia de a 2.
    • Para cada , varia de 0 a .
  5. Ordem :
    • de 0 a 4.
    • Para cada , varia de 0 a , mas precisamos expressar em termos de . Sabemos que .
    • Para cada , varia de a 2.

Resposta

As cinco integrais iteradas iguais à original são:
  1. integral0^4 integralraizz^2 integral0^y^3 f(x, y, z), dx, dy, dz
  2. integral0^8 integralx^1/3^2 integral0^y^2 f(x, y, z), dz, dy, dx
  3. integral0^2 integral0^y^2 integral0^y^3 f(x, y, z), dx, dz, dy
  4. integral0^8 integralx^1/3^2 integral0^y^2 f(x, y, z), dz, dy, dx
  5. integral0^4 integral0^8 integralraizz^2 f(x, y, z), dy, dx, dz

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