Dê outras cinco integrais iteradas iguais a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral dada:
Estamos trabalhando com integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração respeitando os limites de cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração atuais:
-
varia de 0 a 2. - Para cada valor de
, varia de 0 a . - Para cada par de valores
, varia de 0 a .
Isso define uma região no espaço tridimensional onde a função
está sendo integrada. Para encontrar outras integrais iteradas iguais, vamos reorganizar a ordem de integração, ou seja, mudar a sequência em que integramos em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos visualizar a região de integração para facilitar a mudança de ordem. Sabemos que:
-
está entre 0 e 2. -
está entre 0 e , o que implica que é maior ou igual a . -
está entre 0 e , o que também implica que é maior ou igual a .
Com isso, podemos expressar os limites de integração de outras maneiras, fixando a ordem das variáveis. Por exemplo, podemos começar integrando em relação a
, depois
, e por último
.
Passo 4
Vamos agora escrever cinco outras integrais iteradas mudando a ordem das integrais:
-
Ordem
: -
de 0 a 4 (já que vai até 2 e , então ). - Para cada
, varia de a 2. - Para cada
, varia de 0 a .
-
-
Ordem
: -
de 0 a 8 (já que e , então ). - Para cada
, varia de a 2. - Para cada
, varia de 0 a .
-
-
Ordem
: -
de 0 a 2. - Para cada
, varia de 0 a . - Para cada
, varia de 0 a .
-
-
Ordem
: -
de 0 a 8. - Para cada
, varia de a 2. - Para cada
, varia de 0 a .
-
-
Ordem
: -
de 0 a 4. - Para cada
, varia de 0 a , mas precisamos expressar em termos de . Sabemos que . - Para cada
, varia de a 2.
-
Resposta
As cinco integrais iteradas iguais à original são: