Determine o intervalo e o raio de convergência.
b) sumk=1^infty k!2^k x^k

Passo 1

Oi! Vamos resolver o exercício que pede para determinar o intervalo e o raio de convergência da série . Aqui, estamos lidando com séries de potências, então vamos precisar usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é .

Passo 3

O Teste da Razão nos ajuda a determinar para quais valores de L = limk to infty | ak+1ak | a série converge. Aplicamos a seguinte fórmula:
Se , a série converge; se , a série diverge. Vamos calcular esse limite.

Passo 4

Substituindo ak+1ak = (k+1)!2^k+1 x^k+1 div k!2^k x^k = (k+1) cdot x2 e :

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limk to infty | (k+1) cdot x2 | = limk to infty (k+1) |x|2 tende ao infinito:

Passo 6

Observamos que, à medida que cresce, também cresce sem limite se . Portanto:
  • Se , que é maior que 1, então a série diverge.
  • Se , todos os termos da série são zero, então a série converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é apenas .

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