Determine o intervalo e o raio de convergência.
a) sumk=0^infty x^kk+1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o intervalo e o raio de convergência da série infinita . Estamos trabalhando com séries de potências, e para isso vamos usar o teste da razão para descobrir onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Aqui, o termo geral é:
ak = x^kk+1

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, usamos o teste da razão, que envolve calcular o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |

Passo 4

Calculando a razão entre termos consecutivos:
| ak+1ak | = | x^k+1(k+1)+1x^kk+1 | = | x^k+1k+2 cdot k+1x^k | = | x cdot k+1k+2 |

Passo 5

Simplificando o limite:
L = limk to infty | x cdot k+1k+2 | = |x| cdot limk to infty k+1k+2 = |x| cdot 1 = |x|

Passo 6

Segundo o teste da razão, a série converge quando |x| < 1 :
Então, o raio de convergência é .

Passo 7

Para determinar o intervalo de convergência, verificamos os extremos sumk=0^infty 1^kk+1 = sumk=0^infty 1k+1 e sumk=0^infty (-1)^kk+1 .
  • Para :
Essa é a série harmônica, que diverge.
  • Para :
Essa é uma série alternada. Usando o Teste da Série Alternada, verificamos que os termos tendem a zero e são decrescentes, então a série converge.

Resposta

O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .

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a) sumk=1^infty(-1)^k+1 2^kk!
Determine o intervalo e o raio de convergência.
b) sumk=1^infty k!2^k x^k
Encontre o polinômio de Maclaurin de ordens n = 0, 1, 2, 3, 4 e, após isso, obtenha o enésimo polinômio de Maclaurin da função x e^x usando a notação de somatório.
Determine o intervalo e o raio de convergência.
c) sumk=1^infty(-1)^k+1 x^2 k(2 k)!