Encontre o polinômio de Taylor de ordens n = 0, 1, 2, 3, 4 em torno de
, após isso, obtenha o enésimo polinômio de Taylor da função
usando a notação de somatório.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos encontrar os polinômios de Taylor de ordem n = 0, 1, 2, 3, 4 para a função
em torno de
. Depois, vamos generalizar para encontrar o enésimo polinômio de Taylor usando a notação de somatório. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula do polinômio de Taylor e calcular as derivadas da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do polinômio de Taylor de ordem n para uma função
em torno de
:
Essa fórmula nos ajuda a aproximar a função
próximo ao ponto
usando polinômios.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas da função
:
Isso significa que cada derivada de ordem
é
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar as derivadas no ponto
:
Isso ocorre porque
.
Passo 5
Com as derivadas avaliadas, podemos construir os polinômios de Taylor para cada ordem solicitada:
- Ordem 0:
- Ordem 1:
- Ordem 2:
- Ordem 3:
- Ordem 4:
Passo 6
Por fim, vamos generalizar para encontrar o enésimo polinômio de Taylor usando a notação de somatório. Observando os polinômios anteriores, percebemos que:
Simplificando, temos:
Resposta
O enésimo polinômio de Taylor da função
em torno de
é dado por: