Encontre o polinômio de Taylor de ordens n = 0, 1, 2, 3, 4 em torno de x0 = ln 2, após isso, obtenha o enésimo polinômio de Taylor da função e^-x usando a notação de somatório.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos encontrar os polinômios de Taylor de ordem n = 0, 1, 2, 3, 4 para a função em torno de . Depois, vamos generalizar para encontrar o enésimo polinômio de Taylor usando a notação de somatório. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula do polinômio de Taylor e calcular as derivadas da função .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do polinômio de Taylor de ordem n para uma função em torno de :
Essa fórmula nos ajuda a aproximar a função próximo ao ponto usando polinômios.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas da função :
Isso significa que cada derivada de ordem é .

Passo 4

Agora, vamos avaliar as derivadas no ponto :
Isso ocorre porque .

Passo 5

Com as derivadas avaliadas, podemos construir os polinômios de Taylor para cada ordem solicitada:
  • Ordem 0:
  • Ordem 1:
  • Ordem 2:
  • Ordem 3:
  • Ordem 4:

Passo 6

Por fim, vamos generalizar para encontrar o enésimo polinômio de Taylor usando a notação de somatório. Observando os polinômios anteriores, percebemos que:
Simplificando, temos:

Resposta

O enésimo polinômio de Taylor da função em torno de é dado por:

Exercícios relacionados

Determine se a série alternada sumk=1^infty(-1)^k+1 k+13 k+1 converge. Justifique.
Use o teste da razão (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
c) sumk=1^infty k(12)^k
Determine o intervalo e o raio de convergência.
b) sumk=1^infty k!2^k x^k
Use o teste da razão para convergência absoluta (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
a) sumk=1^infty(-1)^k+1 2^kk!