Use o teste da razão para convergência absoluta (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
a) sumk=1^infty(-1)^k+1 2^kk!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a série infinita:
sumk=1^infty (-1)^k+1 2^kk!
E o problema pede para a gente usar o teste da razão para ver se essa série converge ou diverge. O teste da razão é uma ferramenta que nos ajuda a determinar o comportamento de séries, especialmente quando temos termos envolvendo fatoriais ou potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o teste da razão. Esse teste nos diz para calcular o limite da razão entre dois termos consecutivos da série. Se o limite for menor que 1, a série converge absolutamente; se for maior que 1, ela diverge; e se for igual a 1, o teste não dá resposta.
Então, vamos calcular:
L = limk to infty | ak+1ak |
Onde .

Passo 3

Vamos achar ak+1ak = (-1)^(k+1)+1 2^k+1(k+1)!(-1)^k+1 2^kk! = (-1)^k+2 cdot 2^k+1 cdot k!(-1)^k+1 cdot 2^k cdot (k+1)! :
ak+1ak = -1 cdot 2 cdot 2^k cdot k!2^k cdot (k+1) cdot k! = 2k+1
Simplificando os termos:
| ak+1ak | = 2k+1
Agora, aplicamos o valor absoluto:

Passo 4

Vamos calcular o limite L = limk to infty 2k+1 :
L = 0
À medida que vai para o infinito, tende a 0:

Resposta

Como , pelo teste da razão, a série converge absolutamente.

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