Determine se a série alternada sumk=1^infty(-1)^k+1 k+13 k+1 converge. Justifique.

Passo 1

Vamos analisar a série alternada . O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a determinar se uma série com termos que alternam sinais converge. Para aplicar esse teste, precisamos verificar se os termos em módulo diminuem e tendem a zero.

Passo 2

Primeiro, identificamos a parte não alternada da série, que é . Segundo o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
  1. Se é uma sequência decrescente.
  2. Se .

Passo 3

Vamos calcular o limite de limk to infty k+13k+1 = limk to infty k(1 + 1k)3k(1 + 13k)) = 13 quando tende ao infinito:
Como o limite é e não zero, a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita.

Resposta

Como , a série alternada não converge.

Exercícios relacionados

Use o teste da razão (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
c) sumk=1^infty k(12)^k
Verifique se é verdadeiro ou falso:
d) $ |x-1|<10^{-2} \Rightarrow |f(x)-3|<10^{-1}$, onde |x-1| < 10^-2 => |f(x)-3| < 10^-1
Encontre o polinômio de Taylor de ordens n = 0, 1, 2, 3, 4 em torno de x0 = ln 2, após isso, obtenha o enésimo polinômio de Taylor da função e^-x usando a notação de somatório.
Determine o intervalo e o raio de convergência.
b) sumk=1^infty k!2^k x^k