Determine se a série alternada sumk=1^infty(-1)^k+1 k+13 k+1 converge. Justifique.

Passo 1

Vamos analisar a série alternada . O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a determinar se uma série com termos que alternam sinais converge. Para aplicar esse teste, precisamos verificar se os termos em módulo diminuem e tendem a zero.

Passo 2

Primeiro, identificamos a parte não alternada da série, que é . Segundo o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
  1. Se é uma sequência decrescente.
  2. Se .

Passo 3

Vamos calcular o limite de limk to infty k+13k+1 = limk to infty k(1 + 1k)3k(1 + 13k)) = 13 quando tende ao infinito:
Como o limite é e não zero, a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita.

Resposta

Como , a série alternada não converge.

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