Determine o intervalo e o raio de convergência.
c) sumk=1^infty(-1)^k+1 x^2 k(2 k)!

Passo 1

Vamos olhar para o problema: precisamos determinar o intervalo e o raio de convergência da série . Estamos lidando com séries de potências e vamos usar o Teste da Razão para encontrar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência limk to infty | ak+1ak | = L de uma série de potências da forma . A fórmula é:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar ak = (-1)^k+1 x^2k(2k)! na nossa série:
ak+1ak = (-1)^(k+1)+1 x^2(k+1)(2(k+1))!(-1)^k+1 x^2k(2k)! = -x^2k+2(2k+2)(2k+1)x^2k = x^2(2k+2)(2k+1)
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limk to infty | x^2(2k+2)(2k+1) | = limk to infty |x^2|4k^2 + 6k + 2 = 0 tende ao infinito:

Passo 5

Como , o Teste da Razão nos diz que a série converge para qualquer valor de .

Passo 6

Dessa forma, o raio de convergência é infinito, e o intervalo de convergência é (todos os números reais).

Resposta

A série converge para todo e o raio de convergência é .

Exercícios relacionados

Encontre o polinômio de Maclaurin de ordens n = 0, 1, 2, 3, 4 e, após isso, obtenha o enésimo polinômio de Maclaurin da função x e^x usando a notação de somatório.
Determine o intervalo e o raio de convergência.
a) sumk=0^infty x^kk+1
Use o teste da razão para convergência absoluta (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
b) sumk=1^infty(-1)^k+1 k^kk!
Acerca da função f(x) = 5^x são feitas as seguintes afirmações:
(a) f é crescente.
(b) f é decrescente.
Quais afirmações estão corretas? Justifique.