Use o teste da razão para convergência absoluta (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
b) sumk=1^infty(-1)^k+1 k^kk!

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos a série e queremos usar o teste da razão para determinar se ela converge ou diverge. O teste da razão é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a analisar o comportamento de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o termo geral da série. No nosso caso, o termo geral é . Como vamos usar o teste da razão para a convergência absoluta, vamos considerar o valor absoluto desse termo, ou seja, .

Passo 3

O teste da razão funciona assim: calculamos o limite . Dependendo do valor de , podemos concluir:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se ou é infinito, a série diverge.
  • Se , o teste não dá uma resposta definitiva.

Passo 4

Vamos aplicar o teste da razão à nossa série. Primeiro, calculamos ak+1ak = (-1)^(k+1)+1 (k+1)^(k+1)(k+1)!(-1)^k+1 k^kk! = (k+1)^k+1(k+1) cdot k^k :

Passo 5

Simplificando a expressão:
(k+1)^k+1(k+1) cdot k^k = (k+1)^k cdot (k+1)(k+1) cdot k^k = (1 + 1k)^k

Passo 6

Sabemos que:
limk to infty (1 + 1k)^k = e approx 2,718
Portanto, o limite .

Resposta

Como , pelo teste da razão, a série diverge.

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