Use o teste da razão para convergência absoluta (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
b)
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: temos a série e queremos usar o teste da razão para determinar se ela converge ou diverge. O teste da razão é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a analisar o comportamento de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o termo geral da série. No nosso caso, o termo geral é . Como vamos usar o teste da razão para a convergência absoluta, vamos considerar o valor absoluto desse termo, ou seja, .
Passo 3
O teste da razão funciona assim: calculamos o limite . Dependendo do valor de , podemos concluir:
Se , a série converge absolutamente.
Se ou é infinito, a série diverge.
Se , o teste não dá uma resposta definitiva.
Passo 4
Vamos aplicar o teste da razão à nossa série. Primeiro, calculamos ak+1ak = (-1)^(k+1)+1 (k+1)^(k+1)(k+1)!(-1)^k+1 k^kk! = (k+1)^k+1(k+1) cdot k^k :