Encontre o polinômio de Maclaurin de ordens
e, após isso, obtenha o enésimo polinômio de Maclaurin da função
usando a notação de somatório.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os polinômios de Maclaurin da função
para as ordens
. Depois disso, vamos ver como generalizar isso usando a notação de somatório para qualquer ordem
.
Maclaurin é um caso especial da série de Taylor, onde a expansão é feita em torno de
. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e entender como elas se aplicam na construção dos polinômios de Maclaurin.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Maclaurin. Ele é uma aproximação de uma função suave em torno de
, construída a partir das derivadas da função naquele ponto. A fórmula geral do polinômio de Maclaurin de ordem
é:
Ou seja, a gente avalia as derivadas da função até a ordem
no ponto 0 e usa esses valores para construir o polinômio.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas de
e avaliá-las em
.
-
Primeira derivada:Avaliando em
: -
Segunda derivada:Avaliando em
: -
Terceira derivada:Avaliando em
: -
Quarta derivada:Avaliando em
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas avaliadas em 0, podemos construir os polinômios de Maclaurin para cada ordem.
-
Ordem
: -
Ordem
: -
Ordem
: -
Ordem
: -
Ordem
:
Passo 5
Agora, vamos generalizar isso para qualquer ordem
usando a notação de somatório. Observando o padrão que surgiu nos passos anteriores, percebemos que cada coeficiente é
para o termo
.
Então, o polinômio de Maclaurin de ordem
para
pode ser escrito como:
Resposta
Os polinômios de Maclaurin de ordens
para a função
são:
E o enésimo polinômio de Maclaurin da função
na notação de somatório é:
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Determine o intervalo e o raio de convergência.
a)
a)
Use o teste da razão para convergência absoluta (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
a)
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c)
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b)
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