Encontre o polinômio de Maclaurin de ordens n = 0, 1, 2, 3, 4 e, após isso, obtenha o enésimo polinômio de Maclaurin da função x e^x usando a notação de somatório.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os polinômios de Maclaurin da função para as ordens . Depois disso, vamos ver como generalizar isso usando a notação de somatório para qualquer ordem .
Maclaurin é um caso especial da série de Taylor, onde a expansão é feita em torno de . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e entender como elas se aplicam na construção dos polinômios de Maclaurin.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Maclaurin. Ele é uma aproximação de uma função suave em torno de , construída a partir das derivadas da função naquele ponto. A fórmula geral do polinômio de Maclaurin de ordem é:
Ou seja, a gente avalia as derivadas da função até a ordem no ponto 0 e usa esses valores para construir o polinômio.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas de e avaliá-las em .
  1. Primeira derivada:
    Avaliando em :
  2. Segunda derivada:
    Avaliando em :
  3. Terceira derivada:
    Avaliando em :
  4. Quarta derivada:
    Avaliando em :

Passo 4

Agora que temos as derivadas avaliadas em 0, podemos construir os polinômios de Maclaurin para cada ordem.
  1. Ordem :
  2. Ordem :
  3. Ordem :
  4. Ordem :
  5. Ordem :

Passo 5

Agora, vamos generalizar isso para qualquer ordem usando a notação de somatório. Observando o padrão que surgiu nos passos anteriores, percebemos que cada coeficiente é para o termo .
Então, o polinômio de Maclaurin de ordem para pode ser escrito como:

Resposta

Os polinômios de Maclaurin de ordens para a função são:
E o enésimo polinômio de Maclaurin da função na notação de somatório é:

Exercícios relacionados

Determine o intervalo e o raio de convergência.
a) sumk=0^infty x^kk+1
Use o teste da razão para convergência absoluta (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
a) sumk=1^infty(-1)^k+1 2^kk!
Determine o intervalo e o raio de convergência.
c) sumk=1^infty(-1)^k+1 x^2 k(2 k)!
Use o teste da razão para convergência absoluta (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
b) sumk=1^infty(-1)^k+1 k^kk!