Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
(d) sumn=0^infty n^2n^3+1

Passo 1

O exercício pede para determinar se a série sumn=0^infty n^2n^3+1 converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas, como o Teste da Comparação, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série conforme n cresce. Olhando para o numerador e denominador, identificamos os termos de maior grau.

Passo 3

Simplificando, observamos que:
n^2n^3+1 approx n^2n^3 = 1n
Isso significa que, para valores grandes de n, o termo geral se comporta como 1n.

Passo 4

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n é a série harmônica, que é conhecida por divergir. Portanto, nossa série comparável também pode divergir.

Passo 5

Aplicando o Teste da Comparação, vemos que:
n^2n^3+1 > 12n
para n suficientemente grande. Como sum 1n diverge e nossa série é maior que uma série divergente multiplicada por uma constante positiva, conclui-se que a série original também diverge.

Resposta

A série sumn=0^infty n^2n^3+1 diverge.

Exercícios relacionados