Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
(d)
(d)
Passo 1
O exercício pede para determinar se a série
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas, como o Teste da Comparação, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série conforme
cresce. Olhando para o numerador e denominador, identificamos os termos de maior grau.
Passo 3
Simplificando, observamos que:
Isso significa que, para valores grandes de
, o termo geral se comporta como
.
Passo 4
Sabemos que a série
é a série harmônica, que é conhecida por divergir. Portanto, nossa série comparável também pode divergir.
Passo 5
Aplicando o Teste da Comparação, vemos que:
para
suficientemente grande. Como
diverge e nossa série é maior que uma série divergente multiplicada por uma constante positiva, conclui-se que a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
j) sujeito a
.
j)
Calcule as derivadas:
Determine as derivadas, com a regra da cadeia:
Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
(b)
(b)