Escreva as seguintes funções como uma série de potências e forneça os intervalos de convergência.
(b)

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisa reescrevê-la como uma série de potências. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de potências e séries geométricas. Vamos precisar transformar a função de modo que possamos aplicar a expansão de uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a função para que fique na forma de algo que se assemelha a , que é a forma padrão da série geométrica. Podemos fatorar o denominador:

Passo 3

Agora, observamos que pode ser expandido como uma série geométrica , desde que . No nosso caso, , então podemos escrever:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão de , temos:

Passo 5

Para encontrar o intervalo de convergência, usamos a condição :
Então, o intervalo de convergência é .

Resposta

A série de potências de é:
E o intervalo de convergência é .

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Suponha que uma espécie de peixe em um lago seja modelada por um modelo logístico de população com uma taxa de crescimento relativa de por ano e uma capacidade de carga de . A equação diferencial que descreve o modelo logístico de população para este problema é dada por
em que é a população depois de anos. Se 2500 peixes são inicialmente introduzidos no lago, encontre a taxa na qual a população está mudando. Use-a para estimar o número de peixes no lago após 2 anos.
Dica: Use a equação da reta tangente no ponto para estimar o número de peixes no lago após 2 anos.
Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
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Um grande bloco de gelo tem a forma de um cubo perfeito. À medida que derrete, cada aresta do cubo diminui a uma taxa de . A que taxa o volume do cubo de gelo está mudando?
Escreva a fórmula do termo geral da sequência e determine seu limite (caso exista):
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