Escreva as seguintes funções como uma série de potências e forneça os intervalos de convergência.
(b)
Passo 1
Então, a gente tem a função e precisa reescrevê-la como uma série de potências. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de potências e séries geométricas. Vamos precisar transformar a função de modo que possamos aplicar a expansão de uma série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a função para que fique na forma de algo que se assemelha a , que é a forma padrão da série geométrica. Podemos fatorar o denominador:
Passo 3
Agora, observamos que pode ser expandido como uma série geométrica , desde que . No nosso caso, , então podemos escrever:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão de , temos:
Passo 5
Para encontrar o intervalo de convergência, usamos a condição :