Escreva as seguintes funções como uma série de potências e forneça os intervalos de convergência.
(b) f(x) = x^3 / (3 - x^2)

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisa reescrevê-la como uma série de potências. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de potências e séries geométricas. Vamos precisar transformar a função de modo que possamos aplicar a expansão de uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a função para que fique na forma de algo que se assemelha a , que é a forma padrão da série geométrica. Podemos fatorar o denominador:

Passo 3

Agora, observamos que pode ser expandido como uma série geométrica , desde que . No nosso caso, , então podemos escrever:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão de , temos:

Passo 5

Para encontrar o intervalo de convergência, usamos a condição :
Então, o intervalo de convergência é .

Resposta

A série de potências de é:
E o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados