Suponha que uma espécie de peixe em um lago seja modelada por um modelo logístico de população com uma taxa de crescimento relativa de por ano e uma capacidade de carga de . A equação diferencial que descreve o modelo logístico de população para este problema é dada por
em que é a população depois de anos. Se 2500 peixes são inicialmente introduzidos no lago, encontre a taxa na qual a população está mudando. Use-a para estimar o número de peixes no lago após 2 anos.
Dica: Use a equação da reta tangente no ponto para estimar o número de peixes no lago após 2 anos.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma população de peixes em um lago que cresce de acordo com o modelo logístico de população. Isso significa que o crescimento da população não é infinito, pois há um limite natural, chamado capacidade de carga (k), que no nosso caso é 10.000 peixes. A taxa de crescimento relativa é de 0,2 por ano. Inicialmente, temos 2.500 peixes no lago. Precisamos encontrar a taxa de variação da população nesse ponto inicial e usar essa informação para estimar quantos peixes haverá no lago após 2 anos, utilizando a equação da reta tangente no ponto inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação diferencial do modelo logístico:
Aqui, é a população de peixes após anos, é a taxa de crescimento relativa, e é a capacidade de carga do ambiente.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação da população no instante inicial, ou seja, quando e peixes. Para isso, substituímos esses valores na equação diferencial:

Passo 4

Vamos calcular dentro dos parênteses primeiro:
Agora, multiplicamos:
Portanto, a taxa de variação da população no início é de 375 peixes por ano.

Passo 5

Agora, vamos usar a equação da reta tangente para estimar a população após 2 anos. A equação da reta tangente em um ponto é dada por:
No nosso caso, e . Substituímos na equação:

Passo 6

Queremos estimar a população após 2 anos, ou seja, quando . Substituímos na equação da reta tangente:

Resposta

Após 2 anos, a estimativa da população de peixes no lago é de 3.250 peixes.

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