Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada por:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a aplicação do Teste da Razão. Observe que:
Mas para simplificar, vamos considerar apenas a parte que envolve o termo
:
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Razão, que diz que a série converge se:
Vamos calcular esse limite.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Passo 6
De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de
que garantem a convergência.
Passo 7
Primeiro, retiramos o valor absoluto:
Agora, vamos resolver a desigualdade sem o valor absoluto:
Passo 8
Isolando
:
Primeiro, somamos 1 em todas as partes da desigualdade:
Agora, dividimos tudo por 4:
Passo 9
Então, o intervalo de convergência é:
O raio de convergência é a metade do comprimento desse intervalo. Calculando:
Resposta
O intervalo de convergência da série é
e o raio de convergência é
.
Exercícios relacionados
Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
(f)
(f)
Determine a reta tangente para:
no ponto
. (Resp:
)
Seja a função dada por
. Determinar: