Determine o intervalo e o raio de convergência das seguintes séries de potências .
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada por:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a aplicação do Teste da Razão. Observe que:
Mas para simplificar, vamos considerar apenas a parte que envolve o termo :

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão, que diz que a série converge se:
Vamos calcular esse limite.

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Simplificando a expressão:
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de que garantem a convergência.

Passo 7

Primeiro, retiramos o valor absoluto:
Agora, vamos resolver a desigualdade sem o valor absoluto:

Passo 8

Isolando :
Primeiro, somamos 1 em todas as partes da desigualdade:
Agora, dividimos tudo por 4:

Passo 9

Então, o intervalo de convergência é:
O raio de convergência é a metade do comprimento desse intervalo. Calculando:

Resposta

O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .

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Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
(f)
Determine a reta tangente para: no ponto . (Resp: )
Seja a função dada por . Determinar: